Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции, распределения

К.: Наукова Думка, 1992. — 209 с. — ISBN: 5-12-002227-8.В монографии развиваются конструктивные методы построения и исследования сингулярных объектов анализа и теории вероятностей, до недавнего времени считавшихся экзотическими и даже «патологическими»: непрерывные нигде не дифференцируемые функции; фрактальные множества; размерность Хаусдорфа — Безиковича которых не совпадает с их топологической размерностью; сингулярные функции распределения, носители которых фрактальны.
Для специалистов в области математического анализа и теории вероятностей, а также аспирантов и студентов старших курсов университетов.Предисловие
ВведениеОбщая теория меры
Абстрактное пространство. Классы множеств.
Порожденные классы множеств.
Метрические пространства.
Меры и их свойства.
Внешние меры.
Измеримые множества.
Мера Лебега.
Дискретность, абсолютная непрерывность, сингулярность мер.
Конструкция Каратеодори.Мера Хаусдорфа и размерность Хаусдорфа-Безиковича
h-мера Хаусдорфа.
Размерность Хаусдорфа.
Размерность Хаусдорфа-Безиковича.
Локальная размерность Хаусдорфа-Безиковича.
Q-S-представление и эквивалентные определения размерности Хаусдорфа Безиковича.
Lambda_k-мера Хаусдорфа аналитических множеств.
Мера и категория.Фракталы
Топологическая размерность и ее связь с размерностью Хаусдорфа-Безиковича.
Фракталы.
Самоподобные множества.
Фрактальные множества, связанные с Q-S-представлением.
Q_\infty - представление и связанные с ним фрактальные множества.
Фрактальные кривые.
Фрактальные функции.
Функции распределения и теорема Лебега об их разложении.
Сингулярные распределения и проблема носителя вероятностной меры.
Фрактальные распределения.
Самоподобные распределения.Непрерывные нигде недифференцируемые функции
Из истории возникновения непрерывных недифференцируемых функций.
Недифференцируемая функция Ван-дер-Вардена.
Теорема Банаха-Мазуркевича.
Канторовские проекторы.
Непрерывные канторовские проекторы.Сингулярные распределения
Конструкции сингулярных распределений.
Характеристические функции сингулярных распределений.
Свертки распределений.Теорема Джессена-Винтнера.
Коэффициенты Фурье-Стилтьеса сингулярных функций распределения.
Классификация сингулярных расределений распределенными Q-символами.
Случайные величины с независимыми одинаково распределенными Q-символами.
Случайные величины с независимыми Q-символами.
Случайные величины с независимыми двоичными цифрами.
Случайные величины с независимыми одинаково распределенными Q_\infty-символами.
Симметричные свертки Бернулли.
Свертки сингулярных распределений.Список литературы