Скворцова О.В. Введение в математический анализ

Учебно-методическое пособие для студентов заочного отделения математических факультетов педвузов. — Новосибирск: Новосибирский государственный педагогический университет (НГПУ), 2007. — 132 с.Предлагаемое пособие написано на основе пособия Г.Я. Ярахмедова «Введение в анализ» (1992) специально для студентов заочного отделения. В нем на доступном уровне излагаются основные понятия и утверждения разделов вводной части математического анализа – «Множества и функции», «Предел и непрерывность». Пособие включает теоретический материал по данным разделам, вопросы для самопроверки, а также задания и упражнения для самостоятельной работы студентов. Кроме того, пособие содержит большое количество разобранных примеров.
В качестве сборника задач по курсу «Введение в математический анализ» студентам рекомендуется методическое пособие «Введение в анализ: практические занятия для студентов-заочников первого курса».Предисловие.
Введение.
Множества и функции.
Элементы теории множеств:
Множество и примыкающие к нему понятия.
Операции над множествами.
Числовые множества:
Вещественные числа.
Алгебраическая и порядковая структуры множества действительных чисел.
Абсолютная величина действительного числа и ее свойства.
Числовая ось и геометрический смысл модуля.
Числовые промежутки.
Сравнение числовых множеств.
Непрерывность множества вещественных чисел.
Ограниченные множества:
Ограничители, крайние элементы и грани числового множества.
Принцип Архимеда.
Расширенное множество вещественных чисел.
Сведения о функциях. Общее понятие функции:
Определение функции и способы ее задания.
Последовательность.
Другие важные примеры функций.
Важнейшие классы функций:
Обратные функции.
Композиция функций.
Ограниченные функции.
Монотонные функции.
Элементарные функции:
Существование корня.
Степень с рациональным показателем.
Принцип отделяющего отрезка.
Степень с произвольным вещественным показателем.
Существование логарифма.
Показательная, логарифмическая и степенная функции.
Арифметические действия над функциями.
Базисные и элементарные функции.
Предел. Непрерывность.
Предварительные сведения о пределе и непрерывности:
Окрестности точек расширенной прямой и их основные свойства.
Точки прикосновения, точки сгущения и изолированные точки множества.
Определение предела. Теорема о единственности предела.
Перевод определения предела на «e-d» - язык.
Понятие непрерывной функции.
Предел(непрерывность) композиции функций.
Предел числовой последовательности.
Подпоследовательность заданной последовательности. Связь между пределами последовательности и ее подпоследовательности.
Предел сужения.
Локальный характер предела.
Односторонние пределы. Односторонняя Непрерывность.
Точки разрыва функции и их классификация.
Свойства предела (непрерывности):
Сохранение функцией неравенства между пределом и заданным числом.
Ограниченность функции вблизи точки существования предела.
Переход к пределу в неравенстве между функциями.
Предел сжатой функции.
Арифметические свойства предела (непрерывности).
Монотонные функции:
Теорема о пределе монотонной функции.
Теорема о непрерывности монотонной функции.
Непрерывность элементарных функций.
Замечательные пределы:
Первый замечательный предел.
Число e. Второй замечательный предел.
Другие замечательные пределы.
Предел степенно-показательной функции.
Свойства непрерывных функций:
Принцип Кантора о вложенных отрезках.
Принцип Больцано-Вейерштрасса.
Теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции.
Теорема об ограниченности функции непрерывной на отрезке (1-я теорема Вейерштрасса).
Теорема о достижении наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функцией (2-я теорема Вейерштрасса).
Список рекомендуемой литературы.