Мигунова Д.С. О движении мяча по травяному газону

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.02.01 - Теоретическая механика. — Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова. — Москва, 2012. — 18 с.Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Вильке В.Г.Основные результаты диссертации и их научная новизна.
В работе проведено исследование динамики механической системы, состоящей из массивного шара неизменной формы и деформируемой сплошной среды — так называемого газона. Газон смоделирован непрерывным однородным множеством стержней, недеформированных в отсутствие контакта с мячом. Для стержней рассмотрена модели линейной упругости, а также модель Кельвина-Фойхта.
Сформулирована постановка задачи о движении мяча с гладкой сферической поверхностью по газону, состоящему из упругих деформируемых стержней. Найдены уравнения движения стержней с помощью вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. В качестве источников сил сопротивления движению рассмотрены ударное взаимодействие стержней и мяча на границе зоны контакта и упругая деформация стержней. Вычислена результирующая сила ударного воздействия, найдено условие существования ударов. Показано, что полученная сила пропорциональна квадрату скорости центра мяча и имеет две компоненты: горизонтальную, противоположную направлению движения, и вертикальную. Найдены перемещения свободных концов стержней и результирующая сила поля реакций, действующих на мяч со стороны стержней, которая направлена вверх вдоль оси 𝑂𝑋3. Получены уравнения движения мяча, имеющие сложный нелинейный характер. Движение подробно исследовано для частных режимов: движения по горизонтальной плоскости, вертикальных колебаний и соскальзывания по наклонной плоскости под действием силы тяжести.
В последнем случае исследовано существование стационарных движений. Показано, что в зависимости от параметров системы
может существовать до двух стационарных движений, среди которых одно устойчиво, а другое неустойчиво.
Исследована динамика мяча с шероховатой сферической поверхностью на газоне. Для определения величины сил трения, действующих в точках контакта свободных концов стержней с поверхностью мяча, использован диссипативный функционал, учитывающий зависимость этих величин от распределения нормальной нагрузки, скорости точки контакта, а также выбранной модели трения. Для произвольной модели трения уравнения движения получены в виде системы связанных интегро-дифференциальных уравнений. Рассмотрены частные модели трения: линейное вязкое трение, сухое трение Кулона, вязкая аппроксимация сухого трения. Для линейного вязкого трения вычислены результирующие сила и момент трения, показано существование аттрактора в случае горизонтальной плоскости и стационарных движений в случае наклонной плоскости. Приведены выражения для силы и момента трения для двух других моделей трения и результаты численного интегрирования уравнений движения.
Рассмотрена динамика взаимодействия мяча с множеством вязкоупругих стержней, описанных при помощи модели Кельвина-Фойхта. Для определения сил сопротивления, возникающих вследствие внутренней вязкости материала стержней, сформулирован диссипативный функционал. С его помощью вычислены нелинейные вязкие силы сопротивления и показана их малость относительно других сил сопротивления. Сформулированы уравнения движения мяча с учетом сил внутренней вязкости. Показано, что найденные вязкоупругие силы, вообще говоря, изменяют форму и размеры зоны контакта. Граница возмущенной зоны контакта вычислена аналитически, при этом в качестве критерия отрыва стержня от поверхности шара использовано обращение в ноль силы реакции односторонней связи. Указан вид этой границы для некоторых частных случаев движения, приведены сравнительные графики.
Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.