Белов Ю.Я., Любанова А.Ш., Полынцева С.В., Сорокин Р.В., Фроленков И.В. Обратные задачи математической физики

Учебное пособие. — Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2008. — 153 с.При изучении физических объектов или явлений экспериментальными методами типична ситуация, когда интересующие исследователя количественные характеристики объекта недоступны для непосредственного наблюдения или проведение самого эксперимента вообще невозможно, потому что он либо запрещен (например, при изучении здоровья человека), либо слишком опасен (например, при изучении экологических явлений).
В таких ситуациях для диагностики объектов (например, их внутренней структуры) требуются математическая обработка и интерпретация результатов наблюдений.
В условиях, когда структура математической модели исследуемого процесса известна, можно ставить проблему идентификации математической модели, например, определение коэффициентов дифференциальных уравнений, правой части, границы области, граничных или начальных условий и пр. Такие задачи относятся к классу обратных задач математической физики и в настоящий момент во всем мире играют большую роль в естественных науках и их приложениях.
В данном пособии, главным образом, рассматриваются актуальные многомерные коэффициентные обратные задачи для дифференциальных уравнений параболического типа. Исследуются вопросы разрешимости задач и единственности решения, исследуются свойства решений. Также уделяется внимание физическим и экологическим постановкам рассматриваемых задач. Большинство изложенных в курсе результатов получены сотрудниками кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Института математики СФУ в течение последних четырех лет. Курс читается в рамках программы магистерской подготовки 010500.68.01 «Математическая физика» направления 010500.68 «Прикладная математика и информатика».Некоторые вспомогательные утверждения
Неравенства. Функциональные пространства
Линейное уравнение в частных производных первого порядка
Принцип максимума для параболического уравнения второго порядка
Метод слабой аппроксимации
Теоремы сходимости метода слабой аппроксимации
Обзор некоторых постановок обратных задач
Постановки обратных задач для параболических уравнений
Задачи c финальным и интегральным условиями переопределения
Разрешимость многомерных обратных задач в классах гладких функций. Задача Коши
Задача идентификации функции источника многомерного параболического уравнения
Задача идентификации коэффициента при младшем члене многомерного параболического уравнения
Задача идентификации коэффициентов при производной по времени и нелинейном выражении двумерного параболического уравнения
Краевые задачи
Разрешимость первой и второй краевых задач идентификации коэффициента при младшем члене многомерного параболического уравнения
Задача идентификации функции источника. Интегральное переопределение
Задача идентификации функции источника. Финальное переопределение
Задача идентификации функции источника в случае неизвестного коэффициента, зависящего от времени
Другие задачи
Задачи с несколькими неизвестными коэффициентами
Поведение при t→+∞ решения задачи идентификации функции источника для уравнения теплопроводности
Обратные задачи для систем составного типа
Список литературы