Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

М.: Наука, 1978. — 304 с.В книге изложен ряд основных идей и методов, применяемых для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений и в их естественно-научных приложениях. Элементарные методы интегрирования рассматриваются с точки зрения общематематических понятий (разрешение особенностей, группы Ли симметрий, диаграммы Ньютона и т. д. ).
Теория уравнений с частными производными первого порядка изложена на основе геометрии контактной структуры.
Главы книги посвящены качественной теории дифференциальных уравнений (структурная устойчивость, У-системы), асимптотическим методам (усреднению, адиабатическим инвариантам), аналитическим методам локальной теории в окрестности особой точки или периодического решения (нормальные формы Пуанкаре), а также теории бифуркаций фазовых портретов при изменении параметров (мягкое и жесткое возбуждение автоколебаний при потере устойчивости).
Книга рассчитана на широкие круги математиков - от студентов, знакомых лишь с простейшими понятиями анализа и алгебры, до преподавателей, научных работников и всех читателей, применяющих дифференциальные уравнения в физике и естественных науках.Предиcловие
Некоторые используемые обозначения
Специальные уравнения
Дифференциальные уравнения, инвариантные относительно групп симметрий
Разрешение особенностей дифференциальных уравнений
Уравнения, не разрешенные относительно производных
Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности регулярной особой точки
Стационарное уравнение Шредингера
Геометрия дифференциального уравнения второго порядка и геометрия пары полей направлений в трехмерном пространстве
Уравнения с частными производными пepвoгo порядка
Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка
Нелинейное уравнение с частными производными первого порядка
Теорема Фробениуса
Структурная устойчивость
Понятие структурной устойчивости
Дифференциальные уравнения на торе
Аналитическое приведение к повороту аналитических диффеоморфизмов окружности
Введение в гиперболическую теорию
У-системы
Структурно устойчивые системы не всюду плотны
Теория возмущений
Метод усреднения
Усреднение в одночастотных системах
Усреднение в многочастотных системах
Усреднение в гамильтоновых системах
Адиабатические инварианты
Усреднение в cлоении Зейферта
Нормальные формы
Формальное приведение к линейной нормальной форме
Резонансный случай
Области Пуанкаре и Зигеля
Нормальная форма отображения в окрестности неподвижной точки
Нормальная форма уравнения с периодическими коэффициентами
Нормальная форма окрестности эллиптической кривой
Доказательство теоремы Зигеля
Локaльнaя теория бифуркаций
Семейства и деформации
Матрицы, зависящие от параметров, и особенности декремент-диаграмм
Бифуркации особых точек векторного поля
Версальные деформации фазовых портретов
Потеря устойчивости положений равновесия
Потеря устойчивости автоколебаний
Версальиые деформации зквивариантных векторных полей на плоскости
Перестройки топологии при резонансах
Классификация особых точек
Образцы экзаменационных задач