Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера

М.: Издательство Московского государственного университета, 1983. — 392 с.В книге систематически изложены математические вопросы нерелятивистской квантовой механики, связанные с изучением уравнения Шредингера: спектральная теория одномерного и многомерного оператора Шредингера, теория рассеяния, метод континуальных интегралов и т. п. Изложение рассчитано на лиц, впервые знакомящихся с предметом. Книга снабжена большим количеством задач, на которых читатели могут проверить свое понимание излагаемых вопросов. Значительная часть материала на математическом уровне строгости излагается впервые, что делает книгу прекрасным дополнением к имеющимся знаниям по квантовой механике.Общие положения квантовой механики.
Формулировка основных постулатов.
Некоторые следствия из основных постулатов.
Дифференцирование наблюдаемых по времени.
Квантование.
Соотношения неопределенности и одновременная измеримость физических величин.
Свободная частица в 3-мерном пространстве.
Частицы со спином.
Гармонический осциллятор.
Тождественные частицы.
Одномерное уравнение Шредингера.
Самосопряженность.
Оценка роста обобщенных собственных функций.
Оператор с растущим потенциалом.
Об асимптотике решений некоторых дифференциальных уравнений 2-го порядка при х → +∞.
О дискретных уровнях энергии оператора с полуограниченным потенциалом.
Разложение по собственным функциям оператора с убывающим потенциалом.
Обратная задача теории рассеяния.
Многомерное уравнение Шредингера.
Самосопряженность.
Оценка обобщенных собственных функций.
Дискретный спектр и убывание собственных функций.
Оператор Шредингера с убывающим потенциалом; существенный спектр и собственные значения.
Теория рассеяния.
Волновые операторы и оператор рассеяния.
Существование и полнота волновых операторов.
Уравнения Липпмана—Швингера и асимптотика собственных функций.
Символы операторов и континуальные интегралы.
Символы операторов и квантование: qp- и рq-символы и символы Вейля.
Виковские и антивиковские символы. Ковариантные и контравариантные символы.
Общая концепция континуального интеграла по траекториям в фазовом пространстве. Символ оператора эволюции.
Континуальный интеграл для символа оператора рассеяния и для статистической суммы.
Связь между квантовой и классической механикой. Квазиклассические асимптотики.
Спектральная теория операторов в гильбертовом пространстве
Операторы в гильбертовом пространстве. Спектральная теорема.
Обобщенные собственные функции.
Вариационные принципы и теория возмущений дискретного спектра.
Ядерные операторы и след.
Тензорные произведения гильбертовых пространств.
Пространства Соболева и эллиптические уравнения.
Пространства Соболева и теоремы вложения.
Регулярность решений эллиптических уравнений и априорные оценки.