Вихтенко Э.М., Попова Т.М. Уравнения в частных производных

Учебное пособие. — Хабаровск: Изд-во Тихоокеанского гос. университета, 2014. — 140 с. — ISBN: 978-5-7389-1566-6В представленном учебном пособии излагаются основные факты, относящиеся к уравнениям математической физики, описываемые уравнениями в частных производных трех классов эллиптических, параболических и гиперболических. Пособие содержит изложение ряда фактов из функционального анализа и теории обыкновенных дифференциальных уравнений, для лучшего понимания изучаемых процессов и предназначено для обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Прикладная математика».Эллиптические уравнения
Понятие эллиптического дифференциального оператора, регулярного решения. Принцип максимума
Постановки краевых задач и теоремы единственности регулярных решений
Первая краевая задача для уравнения Лапласа в круге
Интеграл Пуассона представления регулярного решения первой краевой задачи для уравнения Лапласа
Гармонические, субгармонические и супергармонические функции. Вторая формула Грина
Гильбертово пространство. Линейные операторы и функционалы
Некоторые сведения из теории пространств Лебега L₂(Ω)
Обобщенные производные
Пространства С.Л. Соболева W^k₂(Ω)=H^k(Ω)
Неравенство Фридрихса
Задача Штурма-Лиувилля
Обобщенные решения краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка
Обобщенное решение первой краевой задачи для общего эллиптического уравнения
Обобщенное решение краевых задач с неоднородными граничными условиями
Понятие обобщенных функций
Функция Грина. Некоторые свойства функции Грина для эллиптического уравненияПараболические уравнения
Вывод уравнения теплопроводности для неоднородного изотропного тела
Линейные параболические уравнения второго порядка
Постановка начально-краевых задач
Теорема о максимуме и минимуме для регулярных решений первой начально-краевой задачи
О единственности регулярного решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности
Непрерывная зависимость от начальных и краевых условий
Единственность решения первой, второй и третьей начально-краевых задач
Единственность регулярного решения задачи Коши
Теорема Гильберта о собственных элементах симметричного вполне непрерывного оператора
Распространение тепла в бесконечном стержне
Распространение тепла в стержне, на концах которого происходит свободный теплообмен с окружающей средой
Распространение тепла в ограниченном теле
Остывание круглого цилиндра
Функция Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой
Функция Грина первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой
Функция Грина второй начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой
Разрешимость первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности
Единственность обобщенного решенияГиперболические уравнения
Определение гиперболического уравнения. Постановка задач, классические решения
Вывод уравнения колебаний струны
Решение Даламбера для уравнения колебаний струны. Задача Коши. Формула Даламбера
Метод разделения переменных решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны
Единственность решения задачи Коши для волнового уравнения
Решение задачи Коши. Формулы Кирхгофа, Пуассона
Единственность решения первой начально-краевой задачи для гиперболического уравнения
Разрешимость первой начально-краевой задачи для гиперболического уравнения