Арнольд И.В. Теоретическая арифметика

Москва: Государственное учебно-педагогическое издательство, 1938. — 480 с.Предполагается, что читатель владеет элементарной математикой в объеме курса средней школы. Книга состоит из двух частей — учения о числе в его последовательных обобщениях и начальных глав теории чисел. Положенные в основу методологические установки, из которых и вытекал выбор того, а не иного способа изложения, определяются общим стремлением установить связь между формальной стороной и тем конкретным содержанием понятия числа, которое обусловлено его ролью в изучении тех или иных конкретных величин, тех или иных количественных соотношений действительности.Предисловие.
Введение.
Количественные натуральные числа.
Счет.
Множества.
Равномощные множества.
Классы равномощных множеств и количественные числа.
Конкретный смысл числовых соотношений.
Конкретные заместители абстрактного понятия о числе.
Процесс счета и переход к абстрактной формулировке арифметических положений.
Основные операции над множествами и над количественными числами в теории Кантора.
Бесконечные множества и трансфинитные количественные числа.
Необходимость логической характеристики конечных множеств.
Логическая характеристика индивидуальных классов равномощных множеств.
Конечные множества.
Принцип полной индукции.
Принцип полной индукции и суждения об открытых совокупностях.
Свойства конечных множеств и системы конечных количественных чисел.
Натуральный ряд как бесконечная совокупность.
Порядковое натуральное число.
Аксиоматика натурального ряда. Система аксиом Пеано.
Различные интерпретации системы аксиом Пеано.
Метод индуктивных определений Грассмана.
Теория арифметических действий по Грассману.
Сравнение натуральных чисел в теории Гроссмана.
Введение нуля.
Отрицательные числа и теория двустороннего натурального ряда.
Порядковые трансфинитные числа.
Измерение скалярных величин и операторная теория рациональных чисел.
Соотношения скалярного расположения. Скалярные величины.
Числовая характеристика значений скалярной величины.
Числовая характеристика значений измеримых величин.
Аддитивные величины. Задача измерения.
Операторная теория рациональных чисел.
Аксиома Архимеда.
Соизмеримые и несоизмеримые переходы.
Действительные числа.
Построение шкалы числовых отметок на основе процесса измерения.
Классификация скалярных величин на основе критерия выполнимости операций.
Теории пар.
Переход к теории пар.
Отрицательные числа как пары положительных чисел.
Пары как числовые системы с двумя единицами.
Включение положительных чисел в систему пар. Принцип перманентности.
Общие свойства системы относительных чисел. Группа, кольцо, поле.
Дробные числа как пары целых чисел.
Система рациональных чисел как числовое поле.
Операторная теория действий третьей ступени.
Постановка вопроса.
Операторная теория возвышения в степень с дробным показателем.
Мультипликативное (логарифмическое) измерение.
Операции высших ступеней.
Действительные» числа.
Постановка вопроса.
Рациональная числовая прямая.
Определение непрерывности по Дедекинду.
Отсутствие непрерывности в системе рациональных чисел.
Введение иррациональных чисел. Непрерывность системы действительных чисел.
Теорема об ограниченных монотонных последовательностях. Точные границы ограниченного множества.
Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
Метод конечного покрытия и метод деления промежутка.
Теорема Вейерштрасса о предельной точке ограниченного множества.
Теорема о равномерной непрерывности.
Теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией своих точных границ.
Замечания о теоремах существования.
Всюду плотные множества и их сечения.
Основная лемма.
Двойные последовательности и бесконечные десятичные дроби.
Основные операции в области действительных чисел.
Степенная, показательная и логарифмическая функции.
Операция извлечения корня. Степенная функция.
Показательная функция.
Логарифмическая функция.
Общие теоремы о взаимнообратных функциях.
Замечания о многозначных операциях.
Функциональные уравнения, определяющие показательную, степенную и логарифмическую функции.
Теорема Абеля об ассоциативных операциях.
Натуральная показательная функция и натуральный логарифм.
Определение действительных чисел с помощью их рациональных приближений.
Постановка вопроса. Фундаментальное неравенство.
Теория приближений.
Операции над действительными числами, определенными системами приближений.
Теория сходящихся последовательностей Кантора.
Критерий сходимости Коши и его использование Кантором.
Связь с теорией приближений.
Критерий сходимости Коши с точки зрения теории Дедекинда.
Теория действительных чисел по Кантору.
Сечения в области рациональных чисел с точки зрения теории Кантора.
Непрерывность системы действительных чисел в формулировке Кантора.
Операции третьей ступени.
Мощность системы действительных чисел.
Комплексные числа.
Введение.
Комплексные числа как операторы.
Основные действия над комплексными числами.
Возвышение в степень и извлечение корня.
Координатная форма комплексного числа.
Действия над комплексными числами в координатной форме.
Теория пределов в комплексной области.
Показательная и логарифмическая функции.
Переход к теории пар.
Комплексные числа как пары действительных чисел.
Геометрическая теория кватернионов.
Векторы-переходы в трехмерном пространстве.
Кватернионы как операторы.
Сложение кватернионов. Векторы-операторы.
Умножение кватернионов. Версоры.
Сферическая композиция.
Перемножение векторов-операторов.
Формулы умножения комплексных единиц.
Основные законы действий в алгебре кватернионов.
Вращения вокруг осей в трехмерном пространстве.
Числовые поля гиперкомплексных чисел.
Гиперкомплексные числа.
Теорема Фробениуса.
Делимость чисел. Разложение на простые множители.
Предмет теории чисел.
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель двух чисел.
Обобщения. Общий наибольший делитель и наименьшее кратное нескольких чисел.
Линейные зависимости между числами, связанные с величинами наименьшего кратного и наибольшего делителя нескольких чисел.
Алгорифм Евклида.
Непрерывные дроби и их простейшие приложения. Решение неопределенных уравнений первой степени.
Разложение на первоначальные множители.
О простых числах.
Следствия теоремы о разложении на простые множители. Числовые функции.
Теория сравнений.
Понятие о сравнении. Классы равноостаточных чисел по данному модулю.
Основные свойства сравнений. Операции сложения и умножения по данному модулю. Признаки делимости чисел.
Операция деления. Делители нуля. Приведенная система вычетов.
Решение сравнений первой степени.
Дроби по простому модулю.
Теоремы Ферма и Эйлера. Приложения к решению сравнений первой степени.
Теорема Вильсона.
О числе решений сравнений высших степеней.
Степенные вычеты. Первообразные корни простого модуля.
Теория индексов и ее приложения.
Приложения теории степенных вычетов к вопросам элементарной арифметики.
Предметный указатель.