Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры

М.: Физматлит, 2003 — 496 с.Дается систематическое изложение современной теории колебаний и волн. Первая часть представляет собой элементарное введение в теорию колебаний. Во второй части излагаются наиболее существенные понятия и методы теории нелинейных динамических систем. Третья часть посвящена волновым процессам в линейных и нелинейных системах. В комментариях и приложениях рассмотрены некоторые задачи распространения волн, взаимодействия излучения с веществом и другие задачи нелинейной динамики, а также приведены сведения справочного характера. Основное содержание книги дополнено некоторым количеством задач с подробными их решениями.
Книга предназначена студентам, аспирантам и научным работникам, интересующимся теорией колебаний и ее приложениями.Предисловие.
Основные понятия теории колебаний.
Колебательные движения. Математический маятник. Пружинный мамаятник. Колебательный контур. Модель "хищник-жертва" Вольтерры. Модель химической реакции Лотки. Основные характеристики колебательного движения. Гармонические колебания. Амплитуда. Круговая и циклическая частоты. Период. Фаза. Изохронные колебания. Геометрическая интерпретация гармонических колебаний. Комплексное представление колебаний. Изображающая {фазовая) точка. Фазовая траектория. Фазовая плоскость. Ангармонические колебания. Точное решение уравнения движения математического маятника. Осциллятор.Свободные и вынужденные колебания. Амплитудно-частотная характеристика. Резонанс. Колебания при наличии трения. Апериодическое затухание. Коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания.
Добротность колебательной системы. Резонанс при наличии трения. Ширина резонанса. Система связанных осцилляторов. Суперпозиция колколебаний. Нормальные колебания (нормальные моды). Собственные частоты
системы. Гармонический анализ. Скалярное сложение колебаний. Биения. Векторное сложение колебаний. Фигуры Лиссажу. Параметрический резонанс. Теорема Флоке-Ляпунова. Резонансные полосы. Уравнение Матъе.Кинетическая и потенциальная энергии математического маятника. Закон сохранения энергии. Перекачка кинетической энергии в потенциальную и обратно. Потери энергии при наличии трения. Слабое затухание. Время затухания колебаний. Добротность колебаний. Функция Ляпунова. Энергия вынужденных колебаний. Автономные неавтономные системы. Энергия системы связанных осцилляторов, разложение по нормальным модам. Диссипативная функция. Адиабатические инварианты. Адиабатически медленный процесс. Адиабатический инвариант пружинного маятника. Гамилыпонова функция (гамильтониан) динамической системы. Степени
свободы. Адиабатический инвариант системы с одной степенью свободы. Действие и угол, теорема Лиувилля.Степени свободы. Фазовое пространство. Фазовая или изображающая точка. Фазовая траектория. Динамические системы. Фазовый портрет. Фазовая плоскость. Особые точки динамической системы. Центр, фокус, узел. Устойчивые и неустойчивые особые точки. Седло. Сепаратрисы седел. Нуль-изоклины. Характеристическое уравнение. Характеристические показатели. Особые точки гамилътоновых систем. Предельные циклы. Автоколебания. Механические часы. Лестница Ламерея. Точечное отображение или отображение последования. Неподвижная точка отображения. Одномерное и двумерное отображения. Автогенератор дер-Поля. Обратная связь. Уравнение Ван-дер-Поля. Отрицательное трение. Положительная и отрицательная обратные связи. Стохастические колебания. Система Лоренца. Странный аттрактор.Нелинейные динамические системы.
Динамические системы. Эволюционный оператор, задача Коми. Пересекающиеся и непересекающиеся фазовые траектории. Особые точки. Классификация особых точек в трехмерном фазовом пространстве.
Устойчивые и неустойчивые направления. Характеристические показатели на комплексной плоскости и устойчивость особых точек. Индексы Пуанкаре, сосуществование особых точек на фазовой плоскости.Устойчивость, теория устойчивости. Устойчивость по Ляпунову. Фазовый поток, фазовая жидкость, фазовая капля. Асимптотическая устойчивость. Диссипативные системы. Экспоненциальная устойчивость. Орбитальная устойчивость. Асимптотическая и экспоненциальная орбиорбитальные устойчивости. Равноускоренное движение материальной точки. Линейный осциллятор с трением. Нелинейный осциллятор (уравнение Дуффинга). Аттрактор. Эргодичность. Эргодическая гипотеза. Эргодические системы. Система Лоренца. Безразличное положение равновесия. Притягивающий отрезок. Роль нелинейности и неаналитичности.Бифуркации, бифуркационные значения параметров. Прогиб упругого стержня. Классификация корней квадратного уравнения. Структурная устойустойчивость, грубость системы. Теория катастроф. Складка. Многообразие
катастрофы. Классификация корней кубического уравнения, сборка. КласКлассификация корней уравнения четвертой степени, ласточкин хвост. Флаг катастроф. Ряд касповидных катастроф. Классификация экстремумов
функций. Росток катастрофы, возмущение. Управляющие параметры, пространство управления. Деформация. Функции многих переменных.Одномерные точечные отображения. Неподвижные точки отображений. Монотонные отображения. Спираль Ламерея. Циклические точки. Итерированные отображения. Устойчивость циклических точек, n-циклы
(Sn-циклы). Унимодальные отображения. Логистическое отображение или универсальное отображение Фейгенбаума. Бифуркации циклов в отображении Фейгенбаума. Бифуркации удвоения периода, каскад бифуркаций. Теория универсальности. Универсальный предел итераций гладких отображений. Сверхустойчивые циклы. Стохастические колебания. Динамический {или детерминированный) хаос. Квазислучайные последовательности. Шумящие циклы. Цикл Я3. Иерархия циклов. Рождение цикла из хаоса. Сценарий рождения хаоса через перемежаемость {сценарий Помо—Манневиля). Распределение вероятностей значений элементов
последовательностей. Инвариантное распределение, инвариантная мера. Уравнение Перрона-Фробениуса.Самоподобие. Фрактальные множества, фракталы. Функция Вейерштрасса. Кривые Пеано. Канторовы множества, построение, мера, самоподобие. Масштабная инвариантность или скейлинг. Канторова (или
"дьявольская") лестница. Кривые Коха, остров Коха. Ковер Серпинского. Двух- и трехмерные фракталы, универсальная кривая Менгера. Разветвленностъ фрактала. Вероятностные фракталы. Длина береговой линии. Определения линии. Топологическая размерность. Фрактальная размерность или емкость. Емкость некоторых фракталов. Размерность Хаусдорфа—Безиковича. Динамические системы с непрерывным и дискретным, временем. Клеточные автоматы. Фрактальные структуры, порождаемые клеточными автоматами. Двумерные точечные отображения. Квадратичное отображение Хенона. Фрактальная структура аттрактора Хенона. Системы итерированных функций, детерминированный и рандомизированный алгоритмы, фрактальные структуры.Многопериодическое движение, многомерный тор. Сценарий ЛандауХопфа. Случайные процессы, уравнения Ланжевена, уравнение Фоккера-Планка—Колмогорова. Корреляционная функция. Динамический хаос. Локальная неустойчивость. Эргодичность и перемешивание. Преобразование пекаря. Гамилътоновы системы. Энтропия Колмогорова-Синая (К-энтропия), К-системы. Теория устойчивости Колмогорова—Арнольда—Мозера (теория КАМ). Примеры систем с хаосом: рассеяние материальной точки на твердых шариках, рассеивающие биллиарды (биллиарды
Синая). Одномерные и двумерные точечные отображения. Жесткий ротатор {отображение Чирикова—Тэйлора). Стохастические слои, стохастическое море, стохастическая паутина {паутина Арнольда). Диффузия Арнольда. Диссипативные системы. Аттракторы и репеллеры. Странный аттрактор. Показатели Ляпунова. Система Лоренца. Сценарий Рюэля—Такенса. Аттрактор Рёслера. Ротатор с трением. Квантовый хаос.Волны и структуры.
Понятие волны. Бегущая волна. Скорость волны. Гармоническая волна. Амплитуда и фаза волны. Длина волны. Волновое число, волновой вектор. Плоская волна. Стоячая волна, узлы, пучности. Принцип суперпозиции.
Волновое уравнение. Уравнение поперечных колебаний в упругом стержне. Уравнение звуковых волн в газе. Общее решение одномерного волнового уравнения. Сферически симметричные волны. Волновое уравнение с учетом
трения. Дисперсия. Уравнения колебаний в бесконечной цепочке связанных маятников, закон дисперсии. Волновой пакет. Групповая скорость. Формула Рэлея. Нормальная и аномальная дисперсия. Энергия колебаний в волне. Плотность потока энергии. Вектор Умова—Пойнтинга. Уравнение Клейна-Гордона.Волны в периодических системах. Вектор трансляции, основные периоды решетки. Обратная решетка. Волны Блоха. Квазиимпульс. Зоны Бриллюэна. Приведенная и расширенная зонные схемы. Одномерный периодический
потенциал, зонная структура спектра. Зонная структура спектра для системы связанных осцилляторов. Энергетический спектр электронов в решетке. Квазиконтинуальный спектр. Резонанс Ферми.Самовоздействие волны. Нелинейные волны, нелинейный волновой процесс. Простые волны (волны Римана). Опрокидывание волны. Уравнение Бюргерса. Диссипация, ее роль. Бегущий фронт. Дисперсия волн. Оптическая
и акустическая ветви. Гравитационно-капиллярные волны. Принцип припричинности и дисперсионные соотношения. Временная и пространственная дисперсия. Уравнение Кортевега-де Фриса. Солитон. Многосолитонные решения. Взаимодействие солитонов. Законы сохранения для уравнения Кортевега—де Фриса. Другие нелинейные уравнения.Параметры порядка и подчиненные переменные. Диссипативные структуры. Автоволновой процесс, автоволна. Самоорганизация, синергетика. Эффект Бенара. Модель Колмогорова—Петровского—Пискунова. Закон дисперсии малых возмущений. Волны переключения, правило Максвелла. Фазовый переход, стабильная и метастабилъная фазы. Функционал (функция) Ляпунова. Режимы локализации и обострения для нелинейных задач теплопроводности. Диффузионная неустойчивость. Диффузионная неустойчивость тъюринговского типа. Диффузионный хаос. Реакции
Белоусова-Жаботинского, брюсселятор и орегонатор. Ведущие центры. Ревербераторы (вращающиеся спиральные волны). Модель Фиц Хью-Нагумо. Обобщенное уравнение Гинзбурга-Ландау. Уравнение Свифта—Хоэнберга и его обобщение. Аксиоматический подход. Клеточный автомат. Возникновение стационарной циркуляции при работе клеточного автомата.
Комментарии.
Приложения.
Семинар.