Френкель Я.И. Курс теоретической механики на основе векторного и тензорного анализа

Учебное пособие. — Л.; М.: Гостехиздат, 1940. — 436 с.: ил.Курс теоретической механики, написанный выдающимся советским физиком-теоретиком Я.И. Френкелем (1894—1952) на основе лекций, прочитанных им на физико-механическом факультете Ленинградского политехнического института. В книге рассмотрены: элементарная теория движения материальной точки и системы точек, а также твёрдого тела; векторный анализ и его применения к гидродинамике; принципы аналитической механики; тензорный анализ на основе теории преобразования простейших координатных систем с применением к теории движения идеального твёрдого тела и к теории упругости; геометрическая теория обобщенных координат, являющаяся вместе с тем основой для обобщения тензорного анализа и превращения его в «абсолютное дифференциальное исчисление». Книга является введением в теоретическую механику как часть курса теоретической физики, ориентируя читателя по всем вопросам теоретической механики, в особенности таким, которые имеют специальный физический интерес.Книга будет полезна механикам, физикам, математикам — научным работникам, преподавателям, аспирантам и студентам естественных и технических факультетов вузов.Векторная алгебра и ее применение к механике частицы и системы частиц
Операции над векторами и векторными функциями от скалярного аргумента
Разложение и сложение векторов.
Проектирование отрезков и скалярное умножение векторов.
Проектирование площадей и векторное умножение векторов.
Комбинированные операции умножения.
Деление векторов и решение линейных векторных уравнений.
Векторные операции в прямолинейных и прямоугольных координатах.
Двухмерные векторы и комплексные числа; гиперкомплексные числа и векторы в многомерном пространстве.
Механика частицы (материальной точки)
Дифференцирование и интегрирование векторов по скаляру (времени) и кинематика частицы.
Общие принципы динамики частицы (количество движения, энергия, момент количества движения и вириал).
Движение частицы под действием упругой силы.
Вынужденные колебания, резонанс и влияние сил трения.
Влияние сил трения на свободные и вынужденные колебания.
Движение частицы под действием силы, обратно-пропорциональной квадрату расстояния.
Влияние добавочной силы, обратно-пропорциональной кубу расстояния от неподвижной точки.
Основы релятивистской (Эйнштейновской) механики.
Механика системы частиц
Общие принципы механики системы частиц.
Система двух частиц и общая теория столкновений.
Принципы обратимости симметрии и относительности.
Механика твердого тела
Кинематика твердого тела.
Движение частицы относительно вращающегося твердого тела; Кориолисова и центробежная силы.
Динамика твердого тела с закрепленной точкой.
Движение волчка, прецессия и нутация.
Векторный анализ и его применение к гидромеханике
Операции над скалярными и векторными функциями от векторного аргумента
Общая характеристика функций от векторного аргумента.
Дифференцирование функций от векторного аргумента.
Исследование операций векторного дифференцирования.
Основные правила векторного дифференцирования.
Дифференциальные операции второго порядка.
Операции векторного дифференцирования в прямоугольных координатах.
Векторные поля и кинематика жидкостей
Постановка задачи; скалярный и векторный потенциалы.
Источники и стоки.
Вихревые линии.
Двойные слои.
Определение потенциального поля в ограниченной области; функция Грина.
Теорема Дирихле.
Определение соленоидального поля в ограниченной области.
Векторный анализ на плоскости и теория функций комплексной переменной.
Принципы гидродинамики и аэродинамики
Основные уравнения механики текучих тел.
Невихревое движение идеальной жидкости.
Вихревое движение идеальной жидкости.
Влияние сил внутреннего трения на движение несжимаемой жидкости; теории Стокса и Прандтля.
Плоское движение идеальной жидкости.
Влияние сжимаемости и принципы акустики.
Аналитическая механика материальной частицы и системы частиц
Механика частицы и метод пространственного континуума экземпляров
Уравнение Гамильтона—Якоби.
Оптико-механическая аналогия Гамильтона.
Волновое уравнение и принципы волновой механики.
Принцип наименьшего действия.
Принцип Гамильтона.
Движение наэлектризованной частицы в произвольном электромагнитном поле.
Аналитическая механика в обобщенных координатах
Обобщенные координаты и уравнения Гамильтона.
Циклические координаты и функция Рута.
Интегралы движения. Скобки Пуассона.
Фазовый континуум экземпляров и его приложение к статистической механике.
Канонические преобразования; связь их с уравнением Гамильтона-Якоби и применение к теории возмущений.
Периодические и условно-периодические движения.
Примеры на применение метода Гамильтона-Якоби.
Движение связанной частицы. Уравнения Лагранжа первого рода, классификация связей и роль сил трения.
Механика системы материальных частиц
Консервативная система частиц с идеальными связями; уравнения Лагранжа I рода.
Аналитическая механика системы частиц.
Общая теория линейных колебаний квази-упругосвязанных частиц.
Вынужденные колебания; гироскопические силы; примеры.
Тензоры и их применение к теории твердых тел и теории упругости
Принципы тензорного анализа
Определение тензорных величин в связи с преобразованиями прямолинейных и прямоугольных координатных систем.
Симметричные и антисимметричные тензоры 2-го ранга.
Преобразование симметричных тензоров к главным осям и их геометрическое изображение.
Дифференцирование тензоров 2-го ранга.
Тензоры высших рангов.
Тензоры в пространстве f > 3 измерений.
Применение симметричных тензоров высших рангов к теории потенциала сил ньютоновского типа.
Механика идеального твердого тела
Тензор инерции и общие уравнения движения твердого тела.
Движение волчка в поле силы тяжести.
Теория упругости
Тензоры деформации и напряжений.
Соотношение между деформациями и напряжениями.
Общая теория равновесия двухмерных упругих тел.
Продольные и поперечные колебания в упругих телах.
Геометрическая теория обобщенных координат и ее применение к механике материальной частицы и континуума
Косоугольные и криволинейные координаты
Косоугольная система координат. Обобщенные проекции и слагающие. Взаимная система координат.
Скалярное и векторное произведения векторов и дифференциальные операции в косоугольных координатах.
Преобразование координат и слагающих вектора при переходе от одной системы косоугольных координат к другой; тензоры.
Определение криволинейных координат.
Дифференциальные операции в криволинейных координатах.
Вывод формул для дифференциальных операций из их интегрального определения.
Ортогональные координаты; цилиндрические, сферические и параболические.
Приложение к механике частицы и континуума
Механика свободной частицы.
Движение частицы по кривой поверхности.
Гауссова теория кривизны поверхностей.
Эйнштейнова теория относительности и тяготения.
Применение криволинейных координат к уравнениям теории упругости и гидродинамики.