Панов Д.Ю. Численное решение квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных

М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — 216 с.В книге излагается новый метод численного решения систем двух квазилинейных гиперболических уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными. Этот метод учитывает кривизну характеристик и дает возможность получить более точные результаты по сравнению с обычно применяемым методом численного решения. В книге даются все необходимые расчетные формулы и ряд подробных примеров вычислений.
Книга предназначена для научных работников и аспирантов, работающих в области численного анализа и его приложений в механике, в частности, в газовой динамике, теории пластичности и т. п.Многие технические проблемы, имеющие большое значение, сводятся к решению тех или иных задач для квазилинейных гиперболических систем. Решения этих задач должны получаться в численном виде, допускающем их использование для инженерных расчётов. До последнего времени основным методом решения таких задач был метод характеристик, являющийся непосредственным перенесением на гиперболические уравнения классического метода Эйлера приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Широкое распространение метод характеристик получил в двадцатых годах XX-го века, после того как С. А. Христианович, существенно его усовершенствовав, применил его для решения задач гидравлики. В дальнейшем этот метод употребляется В. В. Соколовским применительно к расчётам предельного равновесия сыпучих тел и к решению задач теории пластичности и всё чаще используется при решении задач газовой динамики и других вопросов. В этой книге излагается обобщение метода характеристик для систем с двумя искомыми функциями от двух переменных, позволяющее уточнить решение или уменьшить количество точек, координаты которых приходится вычислять. Излагаемый метод, по мнению автора, может представить интерес для решения гиперболических уравнений на современных вычислительных машинах.Предисловие
Введение
Метод численного решения гиперболических систем с учетос членов второго порялка
Общее описание метода
Построение сетки характеристик
Использование дифференциальных соотношений
Составление уравнений
Решение основной системы
Расчётные формулы
Формулы исправления
Обобщённая формула Симпсона
Уравнения для исправления значений координат x_M и y_M
Исправление значений искомых функций u_M и v_M
Расчётные формулы
Изменение шага
Изменение шага при построении сетки характеристик
Использование дифференциальных соотношений при изменении шага
Формулы исправления при изменении шага
Начало вычисления
Построение первых точек сетки характеристик
Вычисление значений искомых функций
Исправление найденных в первом приближении значений посредством квадратур
Дальнейшие исследования
8. Формулы третьего порядка
Построение характеристик
Вычисление значений искомых функций
Изменение шага в формулах третьего порядка
Формулы исправления
Использование различных методов в процессе вычисления
Практическое выполнение вычислений и примеры
Практическое выполнение вычислений
Общая схема вычислений
Схема вычислений в пределах одной клетки
Схема вычислений для исправления значений
Примеры вычислений
Обзор примеров
Задача Надаи
Задача А
Приложение I. Интерполяционные формулы Маркова—Эрмита и соответствующие формулы механических квадратур
Приложение II. Таблицы вспомогательных функций