Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений

Новосибирск: Наука, 1969. — 67 с.
Под обратными задачами для дифференциальных уравнений понимаются задачи определения коэффициентов или правых частей уравнений по некоторым функционалам от их решений. При этом искомые коэффициенты или правые части в дифференциальных уравнениях могут быть произвольными функциями нескольких переменных, принадлежащими некоторому функциональному пространству.
Характерной особенностью многомерных обратных задач является их некорректность по Адамару. Центральным пунктом при теоретическом исследовании задачи, некорректной по Адамару, является доказательство теоремы единственности.
Обратные задачи, для которых в монографии доказаны теоремы единственности,— линейные, решение этих задач сводится к решению линейных операторных уравнений первого рода.
Методы доказательства теорем единственности, примененные в монографии, позволяют строить специальные алгоритмы решения, а также дают возможность получить оценки характеризующие устойчивость постановок на некоторых конкретных компактах (например, на множестве функций с равномерно ограниченным модулем градиента).
Работа состоит из пяти глав. В первой главе рассматриваются некоторые задачи интегральной геометрии, которые заключаются в следующем. Дано семейство кривых. Известны значения интегралов некоторой функции по этим кривым. Требуется выяснить, однозначно ли функция определяется значениями ее интегралов вдоль этих кривых, и указать в явном виде, если это можно сделать однозначно, выражение функции через эти интегралы. Рассмотрены следующие семейства кривых:
семейство эллипсов с фокусом в начале координат и вторым фокусом, лежащим на оси абсцисс,
аналитическое семейство кривых, инвариантное относительно подобного растяжения с центром в начале координат,
семейство кривых, инвариантное относительно вращений вокруг начала координат,
семейство окружностей с центром на фиксированной прямой.Для каждого из этих случаев доказана однозначная определенность функции значениями ее интегралов вдоль семейства кривых и получена соответствующая формула обращения.
Во второй главе рассмотрен ряд постановок линеаризированной обратной задачи для телеграфного уравнения, а в третьей главе — линеаризированная обратная кинематическая задача для волнового уравнения. Задачи этой части работы решаются путем сведения к интегрально-геометрическим задачам, рассмотренным в первой главе.
В четвертой и пятой главах рассмотрен ряд постановок обратных задач для уравнения теплопроводности и одного уравнения эллиптического типа. С помощью аппарата Фурье-Лапласа установлены теоремы единственности соответствующих задач и получен алгоритм построения решения.Введение.
Некоторые задачи интегральной геометрии.
Задача о восстановлении функции через интегралы по эллипсоидам вращения.
Обобщение на случай некоторых аналитических кривых.
Задача о восстановлении функции в круге через интегралы по семейству кривых, инвариантных к вращению вокруг центра круга.
К задаче о восстановлении функции через ее средние значения по окружностям.
Линеаризированная обратная динамическая задача для телеграфного уравнения.
Постановка обратной задачи и ее линеаризация.
Линеаризированная одномерная обратная задача в двумерном пространстве.
Две постановки линеаризированной обратной задачи в трехмерном пространстве.
Вывод нелинейного дифференциального уравнения обратной задачи.
Линеаризированная обратная кинематическая задача для волнового уравнения.
Постановка задачи и ее линеаризация.
Применение линеаризированной постановки обратной кинематической задачи в геофизике.
Обратные задачи теплопроводности с непрерывно действующими источниками.
Обратные задачи теплопроводности для полуплоскости.
Обратные задачи теплопроводности для n-мерного полупространства.
Применение данных задач в геофизике.
Обратные задачи для эллиптического уравнения второго порядка.
Введение.
Обратная задача для уравнения (1) §1 главы V в полуплоскости.
Обратная задача для уравнения (1) §1 главы V в полупространстве.
Литература.