Олегин И.П., Красноруцкий Д.А. Введение в численные методы

Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2018. — 115 с. — ISBN: 978-5-7782-3632-5.В настоящем учебном пособии приводятся теоретические основы численных методов, используемых при решении прикладных задач, и задания для выполнения лабораторных работ, реализующих эти методы. Целью лабораторных работ является приобретение практических навыков использования изученных численных методов, необходимых при решении краевых задач математической физики, а также задач, связанных с проведением численного эксперимента и анализа полученных результатов. При выполнении лабораторных работ используется пакет Mathcad. Несмотря на большое количество стандартных программ, содержащихся в этом пакете, необходимо понимать принципы построения алгоритмов, лежащих в их основе, что поможет исключить возможную неоднозначность результатов при формальном применении этих программ. Предполагается, что студенты, выполняющие предложенные задания, знакомы с основами данного пакета из курса информатики, изучаемого в первом семестре обучения. Тем не менее некоторые основные сведения, необходимые для решения задач, приводятся в разделе «Приложение». Данное учебное пособие является составной частью курса «Вычислительная механика» для студентов третьего курса, обучающихся по направлению «Прикладная механика».Основные математические понятия.
Аппроксимация функций.
Многочлены Тейлора.
Многочлены Лагранжа.
Погрешность интерполяции.
Минимизация погрешности.
Интерполяционный многочлен Ньютона.
Кубические сплайны.
Среднеквадратичная аппроксимация на непрерывном множестве точек.
Среднеквадратичная аппроксимация на дискретном множестве точек.
Численное интегрирование.
Формулы прямоугольников и трапеций.
Формула Симпсона.
Квадратурные интерполяционные формулы.
Формула Гаусса.
Вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами.
Вычисление интеграла по площади прямоугольного четырехугольника.
Вычисление интеграла по площади произвольного четырехугольника.
Метод Монте-Карло.
Численные решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Общие сведения.
Число обусловленности матрицы.
Классификация методов решений СЛАУ.
Метод последовательных исключений (Метод Гаусса).
Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители.
Метод прогонки.
Метод квадратного корня.
Метод простых итераций.
Метод Зейделя.
Решение нелинейных уравнений.
Вводные замечания.
Метод половинного деления.
Метод хорд.
Метод Ньютона (Метод касательных).
Метод простых итераций.
Системы нелинейных уравнений.
Задания к лабораторным работам.
Приближение функции с помощью многочлена Тейлора.
Интерполяционный многочлен.
Кубический сплайн.
Аппроксимация по методу наименьших квадратов.
Приближенное вычисление интеграла по формуле Гаусса.
Приближенное вычисление несобственного интеграла с бесконечными пределами.
Приближенное вычисление интеграла по площади четырехугольника.
Вычисление определенного интеграла по методу Монте-Карло.
Решение СЛАУ методами прогонки и простых итераций.
Исследование устойчивости решения системы линейных алгебраических уравнений.
Решение нелинейного уравнения.
Приложение.
Библиографический список.