Хелемский А.Я. Функциональный анализ. Часть 1

Конспект лекций. — М.: МГУ, 2020. — 117 с.Лекция первая.
Введение. Норма.
Преднорма. Норма.
Почти гильбертовы пространства.
Определение и примеры. Скалярное произведение.
Нормированные пространства. Неравенство Коши — Буняковского.
Ортогональные и ортонормированные системы векторов.
Лекция вторая.
Почти гильбертовы пространства.
Ортогонализация Грама — Шмидта.
Расстояние. Ближайшая точка.
Ряд Фурье.
Базис. Базис Шаудера.
Операторы.
Ограниченные операторы.
Лекция третья.
Операторы.
Ограниченные операторы (продолжение).
Топологический и изометрический изоморфизмы.
Ограниченность и непрерывность.
Функционалы.
Продолжение оператора.
Продолжение оператора.
Формулировка теоремы Хана—Банаха.
Лекция четвёртая.
Продолжение оператора.
Доказательство теоремы Хана—Банаха.
Комплексная форма теоремы Хана—Банаха.
Следствия теоремы Хана—Банаха.
Лекция пятая.
Банаховы пространства.
Функционалы в пространстве непрерывных функций.
Понятие банахова и гильбертова пространства.
Простейшие свойства банаховых пространств.
Продолжение по непрерывности.
Гильбертовы пространства.
Теорема Рисса—Фишера.
Лекция шестая.
Гильбертовы пространства.
Эквивалентные и подобные операторы.
Ближайший вектор в гильбертовом пространстве.
Теорема об ортогональном дополнении.
Сопряжённые и самосопряжённые операторы.
Ортогональные и сопряжённые операторы.
Лекция седьмая.
Сопряжённые и самосопряжённые операторы.
Банахов и гильбертов сопряжённые операторы.
Основные свойства гильбертова сопряжённого оператора.
Сопряжённость и геометрия.
Самосопряжённые операторы.
Теорема Банаха—Штейнхауса. Теорема Банаха.
Теорема Банаха—Штейнхауса.
Лекция восьмая.
Теорема Банаха—Штейнхауса. Теорема Банаха.
Следствия теоремы Банаха—Штейнхауса.
Теорема Банаха.
Пополнение.
Понятие пополнения. Теорема единственности.
Теорема существования.
Компактность и сверхограниченность.
Понятие компактности и сверхограниченности.
Лекция девятая.
Компактность и сверхограниченность.
Примеры сверхограниченности. Эквивалентные условия сверхограниченности.
Эквивалентные условия компактности.
Компактность и конечномерность.
Мажорирующая норма.
Лекция десятая.
Компактность и сверхограниченность.
Сверхограниченность и конечномерность.
Теорема Рисса.
Равностепенная непрерывность. Теорема Арцела.
Компактные операторы.
Понятие компактного оператора.
Свойство аппроксимации.
Лекция одиннадцатая.
Компактные операторы.
Свойство аппроксимации (продолжение).
Компактные операторы между гильбертовыми пространствами.
Теорема Шмидта.
Доказательство теоремы Шмидта.
Лекция двенадцатая.
Компактные операторы.
Компактные операторы и гильбертово сопряжение.
Теорема Гильберта—Шмидта.
Унитарно-эквивалентные операторы.
Ядерные операторы.
Лекция тринадцатая.
Компактные операторы.
Доказательство теоремы о ядерном операторе.
Фредгольмовы операторы.
Понятие фредгольмова оператора.
Первая теорема Фредгольма.
Альтернатива Фредгольма.
Лекция четырнадцатая.
Фредгольмовы операторы.
Третья теорема Фредгольма.
Традиционная формулировка теоремы Фредгольма.
Фредгольмовы операторы в банаховых пространствах.
Начало спектральной теории.
Понятие спектра.
Лекция пятнадцатая.
Начало спектральной теории.
Элементы алгебры.
Взгляд на спектры со стороны алгебры.
Законом отображения спектров для полиномиального исчисления.