Сергеев И.Н. Дифференциальные уравнения. Часть 1

Конспект лекций. — М.: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова (МГУ), 2019. — 66 с.Введение в дифференциальные уравнения.
Базовые понятия.
Поля направлений.
Виды дифференциальных уравнений.
Уравнение первообразной.
Интеграл уравнения в дифференциалах.
Уравнение в полных дифференциалах.
Автономное уравнение.
Задача Коши.
Дифференциальный признак единственности.
Примеры.
Уравнение с разделяющимися переменными.
Однородное уравнение.
Локальная теорема существования и единственности.
Задача Коши.
Нормы в конечномерных пространствах.
Равномерная метрика.
Задача Коши.
Разрешение противоречия из доказательства локальной теоремы.
Вариации условий теоремы существования и единственности.
Теорема глобальной единственности.
Продолжаемость.
Системы дифференциальных уравнений.
Продолжаемость решения.
Непродолжаемые решения линейной системы.
Обобщенные дифференциальные уравнения.
Определение обобщенного дифференциального уравнения n-го порядка.
Каноническая замена переменных.
Продолжаемость решений линейного уравнения.
Уравнение, не разрешённое относительно производной.
Линейные дифференциальные уравнения.
Пример нахождения дискриминантного множества.
Уравнение колебаний маятника.
Общая теория линейных уравнений и систем. Общее решение однородной системы.
Оператор Коши.
Методы решения дифференциальных уравнений.
Матрица решений.
Матрица Коши.
Матричное дифференциальное уравнение.
Определитель Вронского.
Формула Лиувилля-Остроградского.
Общее решение неоднородной системы.
Метод вариации постоянных.
Краевая задача для уравнения второго порядка.
Доказательство эквивалентности уравнений.
Общее решение.
Метод вариации постоянных.
Определитель Вронского для скалярных функций.
Восстановление линейного уравнения.
Теорема о связи линейной зависимости и определителя Вронского.
Краевая задача.
Теорема об альтернативе.
Теорема об альтернативе.
Уравнение равновесия струны.
Нули решений уравнения второго порядка.
Оценки колеблемости.
Колебание маятника.
Методы решения линейного дифференциального уравнения.
Экспонента и логарифм оператора.
Действительные и комплексные решения.
Жорданова матрица.
Вычисление экспоненты от матрицы.
Метод неопределённых коэффициентов.
Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения.
Вид общего решения.
Характеристический многочлен.
Решение однородного уравнения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Периодические системы дифференциальных уравнений.
Линейные периодические системы.
Задача о поиске периодичного решения.
Логарифм от матрицы.