Лукьяненко Д.В. Дифференциальные уравнения

Конспект лекций. — М.: Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова (МГУ), 2020. — 50 с.Основные понятия.
Значение дифференциальных уравнений.
Предметная и математическая постановки задачи.
Определение дифференциального уравнения.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Общее решение однородного дифференциального уравнения.
Теорема о единственности представления решения.
Корректно поставленная задача по Адамару.
Задача Коши.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
Постановка задачи Коши.
Дополнительные условия на неоднородность.
Ограничения на область существования решения.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши в локальной формулировке.
Теорема сравнения и метод дифференциальных неравенств.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши в глобальной формулировке.
Пример применения локальной формулировки теоремы.
Расширение множества, на котором решение существует и единственно.
Теорема Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши в формулировке Чаплыгина.
Теорема о существовании и единственности решения для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений.
Понятие нормы вектора.
Условия для выполнения теоремы.
Локальная формулировка теоремы.
Банаховы пространства.
Понятие неподвижной точки.
Сжимающий оператор.
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
Определение дифференциального уравнения порядка n.
Идея доказательства теоремы о существовании и единственности решения.
Теорема о принципе суперпозиции.
Однородное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка.
Определитель Вронского системы функций.
Фундаментальная система решений.
Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
Теорема об общем решении неоднородного дифференциального уравнения.
Решение неоднородного уравнения.
Представление решения с помощью функции Коши.
Уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Системы линейных дифференциальных уравнений.
Определение системы линейных дифференциальных уравнений.
Однородная система линейных дифференциальных уравнений.
Линейная зависимость и независимость вектор-функций.
Фундаментальная система решений линейной системы дифференциальных уравнений.
Теорема о представлении решения однородной системы.
Способ нахождения фундаментальной матрицы системы уравнений.
Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений.
Получение решения неоднородной системы уравнений методом Лагранжа.
Матрица Коши.