Боярчук А.К. Справочное пособие по высшей математике. Том 4. Функции комплексного переменного: Теория и практика

М.: Едиториал УРСС. 2001. — 352 с. — ISBN: 978-5-484-00780-6.Антидемидович.«Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособияпо математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики—математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной.Том 4 является логическим продолжением трех предыдущих ориентированных
на практику томов и содержит более четырехсот подробно решенных задач, но при этом отличается более детальным изложением теоретических вопросов и может служить самостоятельным замкнутым курсом теории функций комплексного переменного. Помимо вопросов, обычно включаемых в курсы такого рода, в книге излагается ряд нестандартных — таких, как интеграл Ньютона—Лейбница и производная Ферма—Лагранжа.Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико-математических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно
изучающих высшую математику.Основные структуры математического анализа.
Элементы теории множеств и отображений.
Математические структуры.
Метрические пространства.
Компактные множества.
Связные пространства и связные множества
Предел и непрерывность отображения из одного метрического пространства в другое.
Комплексные числа и функции комплексного переменного.
Комплексные числа и комплексная плоскость.
Топология комплексной плоскости.
Непрерывные и гладкие кривые. Односвязные и многосвязные области.
Дифференцируемые функции комплексного переменного.
Элементарные функции в комплексной плоскости.
Дробно-линейные функции и их свойства.
Степенная функция w = zⁿ (n e N, п 2). Многозначная функция и ее поверхность Римана.
Показательная функция w = e^z и многозначная функция z=Ln w.
Общая степенная и общая показательная функции.
Функция Жуковского.
Тригонометрические и гиперболические функции.
Интегрирование в комплексной плоскости. Интегралы Ньютона — Лейбница и Коши.
Интеграл Ньютона — Лейбница.
Производные и интегралы Ньютона — Лейбница любых порядков.
Производная Ферма — Лагранжа. Формула Тейлора — Пеано.
Криволинейные интегралы.
Теорема и интеграл Коши.
Интеграл типа Коши.
Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки.
Ряд Тейлора.
Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций.
Аналитическое продолжение.
Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути.
Полные аналитические функции.
Принципы аналитического продолжения.
Вычеты и их применения.
Определение вычета. Основная теорема.
Целые и мероморфные функции.
Бесконечные произведения.
Применение вычетов для вычисления интегралов и сумм рядов.
Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций.
Принцип аргумента. Теорема Руше.
Сохранение области и локальное обращение аналитической функции.
Экстремальные свойства модуля аналитической функции.
Принцип компактности. Функционалы на семействе аналитических функций.
Существование и единственность конформного отображения.
Соответствие границ и принцип симметрии при конформном отображении.
Конформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца.