Гопенгауз И.Е. Высшая математика. Элементы функционального анализа

Курс лекций. — М.: МИСиС, 2007. — 121 с.Пособие написано в соответствии с программой курса "Функциональный анализ". В первой кго части рассматриваются определения и примеры банаховых и гильбертовых пространств, свойства компактных множеств, вопросы аппроксимации в нормированных пространствах, сепарабельность и абстрактные ряды Фурье. Во второй части излагаются основы теории линейных непрерывных операторов. В заключении приводится доказательство спектральной теоремы Гильберта – Шмидта и дается ее применение к задаче Штурма – Лиувилля. Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 230401 "Прикладная математика", а также для преподавателей, читающих лекции по функциональному анализу или ведущих практические занятия по этой дисциплине.Линейные нормированные пространства.
Основные понятия.
Некоторые вспомогательные неравенства.
Основные пространства последовательностей и функций.
Эквивалентность норм в конечномерных пространствах.
Приближение элементами подпространства.
Сепарабельные пространства. Теорема Вейерштрасса.
Банаховы пространства.
Ряды в пространстве Банаха. Принцип вложенных шаров. Теорема Бэра.
Теорема о пополнении. Лебеговы пространства.
Компактные множества.
Гильбертово пространство.
Аппроксимация в гильбертовом пространстве. Ортогональное дополнение.
Ряды Фурье. Изоморфизм гильбертовых пространств.
Линейные операторы.
Непрерывность и ограниченность линейных операторов.
Пространство линейных непрерывных операторов.
Принцип равномерной ограниченности.
Непрерывно обратимые операторы.
Теорема Банаха – Хана.
Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.
Понятие сопряженного пространства.
Свойства самосопряженных операторов.
Вполне непрерывные операторы.
Теорема Гильберта – Шмидта.
Применение теоремы Гильберта – Шмидта к задаче Штурма – Лиувилля.
Литература.