Гузик В.Ф., Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений алгоритмом Рутисхаузера-Никипорца

Статья. — Известия Южного федерального университета. Технические науки. — 2015. — № 6. — С. 71-82.Приводятся аналитические выражения, представляющие все корни произвольного алгебраического уравнения n-й степени через коэффициенты исходного уравнения. Эти формулы состоят из двух отношений бесконечных определителей Теплица, диагональными элементами которых являются коэффициенты алгебраического уравнения. Такие конструкции были названы непрерывными дробями Никипорца. Для эффективного вычисления значений непрерывных дробей Никипорца используется рекуррентный алгоритм Рутисхаузера. При нахождении корней полинома применяется алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей (r/φ-алгоритм). Комплексные корни определяются из рассмотрения значений длинной серии подходящих непрерывных дробей. Предлагаемый алгоритм нахождения нулей полинома имеет две особенности в сравнении с существующими методами решения алгебраических уравнений. Первая и, пожалуй, принципиально важная особенность: предложен простой аналитический способ записи всех корней уравнения n-й степени по коэффициентам исходного уравнения. Вторая особенность предложенного алгоритма нахождения нулей полинома n-й степени, – простота и регулярность информационного графа алгоритма, что делает его привлекательным при аппаратной реализации в решающем поле суперкомпьютеров с реконфигурируемой структурой. В качестве примера рассмотрено решение алгебраического уравнения 39-й степени.