Федута А.А., Чигарев А.В., Чигарев Ю.В. Теоретическая механика и методы математики

Учебное пособие. — Минск: Технопринт, 2000. — 504 с. — ISBN 985-6373-33-6.Настоящее учебное пособие предназначено для студентов и преподавателей технических вузов всех специальностей, где изучается теоретическая механика. Оно также может быть использовано на естественных факультетах университетов и в средних технических учебных заведениях.
В учебник включен справочный материал по математике, аппарат которой используется в механике. Изложение основных традиционных глав теоретической механики приводится в рациональной форме, что дает возможность при необходимости данное пособие использовать и как справочник.Статика
Основные понятия и аксиомы статики
Аксиомы статики и их следствия
Активные силы и реакции связей. Принцип освобождаемости
Конструктивная реализация связей
Основные задачи статики
Система сходящихся сил
Аналитический способ определения равнодействующей системы сходящихся сил. Условия равновесия системы сходящихся сил
Теория пар
Сложение двух параллельных сил
Пара сил
Момент силы относительно точки и относительно оси
Момент пары
Теоремы о парах
Приведение системы пар к простейшему виду. Равновесие системы пар
Условие равновесия системы пар
Основная теорема статики и условия равновесия пространственной системы сил
Лемма о параллельном переносе силы
Основная теорема статики
Аналитическое определение главного вектора и главного момента пространственной системы сил
Зависимость главного момента при перемене центра приведения
Условия равновесия пространственной системы сил
Уравнения равновесия для частных случаев системы сил
Плоская система сил
Приведение плоской системы сил к простейшему виду
Теорема Вариньона
Условия равновесия плоской системы сил
Статические инварианты
Динамический винт (динама)
Центральная ось. Уравнение центральной оси
Центр параллельных сил. Центр тяжести
Центр параллельных сил
Центр тяжести
Трение
Равновесие с учетом сил трения
Угол и конус трения
Равновесие тела при наличии трения качения. Ведомое колесо
Ведущее колесо
Кинематика
Кинематика точки
Основные понятия
Способы задания движения
Взаимосвязь между способами движения
Понятие о производной вектора по скалярному аргументу
Скорость точки
Скорость точки при координатном способе задания движения
Скорость точки при естественном способе задания движения
Ускорение точки
Нахождение ускорения точки при координатном способе задания движения
Нахождение ускорения точки при естественном способе задания движения
Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
Скорость точки в криволинейных координатах
Ускорение точки в криволинейных координатах
Основные движения твердого тела
Поступательное движение твердого тела
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Скорость и ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Плоское движение твердого тела
Скорости точек тела при плоском движении
Мгновенный центр скоростей
Подвижная и неподвижная центроиды
Ускорения точек при плоском движении
Мгновенный центр ускорений
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой (сферическое движение)
Задание движения. Углы Эйлера. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
Мгновенная ось вращения
Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку
Движение свободного твердого тела
Сложное движение точки
Основные определения. Понятие об абсолютной и относительной производной вектора. Формула Бура
Скорость точки в сложном движении
Ускорение точки в сложном движении. Теорема Кориолиса
Правило Жуковского
Сложное движение твердого тела
Постановка задачи. Сложение поступательных движений
Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
Кинематические уравнения Эйлера
Пара вращений
Сложение вращений вокруг параллельных осей
Сложение поступательных и вращательных движений
Общий случай сложения движений твердого тела
Динамика материальной точки
Введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения
Предмет, задачи динамики и законы
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Первая задача динамики
Вторая задача динамики
Прямолинейное движение точки
Прямолинейные колебания материальной точки
Вводные замечания
Свободные колебания материальной точки
Свободные колебания при линейно-вязком сопротивлении
Вынужденные колебания материальной точки при гармоническом законе возмущающей силы
Коэффициент динамичности
Вынужденные колебания материальной точки при наличии сил вязкого сопротивления
Коэффициент динамичности
Амплитудно-частотная характеристика системы
Фазочастотная характеристика
Общие теоремы динамики точки
Теорема об изменении количества движения материальной точки
Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
Работа силы
Мощность силы
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
Силовое поле. Потенциальная энергия
Свойства стационарных силовых полей
Потенциальное силовое поле (консервативное поле)
Потенциальная энергия поля сил тяжести
Потенциальная энергия поля центральных сил
Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружины
Закон сохранения механической энергии (интеграл энергии)
Несвободное движение материальной точки
Определение несвободного движения. Связи. Принцип освобождаемости
Уравнения связей. Классификация связей
Движение точки по гладкой неподвижной поверхности
Движение точки по гладкой неподвижной кривой
Метод кинетостатики для точки (принцип Д'Аламбера)
Динамика относительного движения материальной точки
Переносная и кориолисова сила инерции
Условия относительного покоя
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в относительном движении
Динамика материальной системы
Материальная система. Общие теоремы
Основные понятия
Внешние и внутренние силы
Свойства внутренних сил
Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек
Теорема об изменении количества движения материальной системы
Количество движения материальной системы
Теорема о движении центра масс механической системы
Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы
Момент количеств движения материальной системы
Момент количеств движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Краткие сведения о моментах инерции
Понятие о радиусе инерции тела
Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы
Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
Момент количеств движения системы, участвующей в сложном движении
Теорема об изменении момента количеств относительного движения материальной системы
Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы
Кинетическая энергия материальной системы и способы ее вычисления
Кинетическая энергия твердого тела
Работа сил, приложенных к материальной системе
Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы
Закон сохранения полной механической энергии механической системы
Теорема об изменении кинетической энергии относительного движения
Динамика твердого тела. Геометрия масс
Основные определения
Моменты инерции твердого тела
Тензор инерции твердого тела в точке и его свойства
Преобразование векторов при повороте системы координат
Представление тензора в виде матрицы
Девятичленная форма представления тензора
Умножение тензора на вектор
Преобразование компонент тензора инерции при повороте координатных осей
Моменты инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера)
Изменение центробежных моментов инерции при параллельном переносе осей
Эллипсоид инерции
Определение главных осей инерции тела
Динамика свободного твердого тела
Основные задачи
Количество движения, момент количества движения и кинетическая энергия твердого тела
Количество движения твердого тела
Момент количества движения твердого тела
Кинетическая энергия твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом (теорема Кенига для произвольного случая)
Принцип Даламбера для механической системы
Главный вектор сил инерции механической системы и абсолютно твердого тела
Главный момент сил инерции механической системы и абсолютно твердого тела
Динамика вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
Физический маятник и его малые колебания
Динамика плоского движения твердого тела
Динамика сферического движения твердого тела
Движение твердого симметричного тела, имеющего одну неподвижную точку, по инерции (случай Эйлера)
Определение углов Эйлера (случай Эйлера)
Устойчивость вращения твердого тела вокруг главных осей инерции
Теория гироскопов
Элементарная теория гироскопов
Основное допущение элементарной (прецессионной) теории гироскопа
Теорема Резаля
Основное свойство свободного (астатического) гироскопа
Закон прецессии оси гироскопа
Момент гироскопической реакции
Гироскопический измеритель угловой скорости (гиротахометр)
Гироскопические давления на опоры
Элементы аналитической механики
Классификация связей
Идеальные связи
Возможные перемещения голономных систем. Геометрический смысл возможного перемещения
Принцип возможных (виртуальных) перемещений (принцип Лагранжа)
Обобщенные координаты
Обобщенные силы
Условия равновесия в обобщенных координатах
Аналитическая механика
Общее уравнение динамики
Уравнение Лагранжа II-го рода
Первый интеграл общего уравнения динамики
Циклические координаты
Выражение кинетической энергии механической системы через обобщенные скорости и координаты
Малые колебания механических систем с одной и двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия
Определение положений равновесия
Устойчивость положения равновесия. Теорема Лагранжа-Дирихле. Критерий Сильвестра
Малые колебания консервативной системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия
Диссипативная функция Рэлея
Уравнения Лагранжа П-го рода при учете сил вязкого трения
Малые колебания механической системы с одной степенью свободы при наличии сил вязкого сопротивления
Логарифмический декремент колебаний
Вынужденные колебания механической системы с одной степенью свободы
Коэффициент динамичности
Вынужденные малые колебания механической системы с одной степенью свободы при наличии силы вязкого сопротивления (случай гармонической обобщенной силы)
Коэффициенты динамичности
Исследование сдвига фаз в зависимости от z
Малые колебания с одной степенью свободы без учета сил сопротивления в случае произвольной возмущающей силы
Малые колебания механической системы с одной степенью свободы при наличии сил сопротивления и произвольной возмущающей силы
Определение периодических решений
Малые колебания консервативной системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия
Нормальные координаты
Влияние сил сопротивления на колебания механической системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия
Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы без учета сил вязкого сопротивления
Собственные свободные колебания механической системы с s степенями свободы без учета сопротивления
Вынужденные колебания системы с s степенями свободы
Действие вынуждающих сил, изменяющихся по гармоническому закону. Непосредственное решение
Введение в теорию механического удара
Основные определения
Коэффициент восстановления
Удар материальной точки об идеально гладкую поверхность
Общие теоремы механической системы и их применение в теории идеального удара
Удар, действующий на тело, закрепленное в двух точках
Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара
Прямой удар двух тел
Удар в плоском движении твердого тела
Динамика точки переменной массы
Уравнение Мещерского
Формулы Циолковского
Методы математики
Элементарная алгебра
Действительные числа
Абсолютные величины
Дробные выражения
Степени и корни
Логарифмы
Факториалы
Прогрессии
Комплексные числа
Бином Ньютона
Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции
Линейная алгебра
Определители и их свойства
Миноры и алгебраические дополнения
Определители второго и третьего порядка
Свойства определителей
Произведение определителей
Изменение порядка определителей
Матрицы и действия над ними, ранг матрицы и обратная матрица
Алгебраические уравнения
Действительные алгебраические уравнения и их корни
Линейные уравнения
Квадратные уравнения
Кубические уравнения
Уравнение четвертой степени (решение Декарта-Эйлера)
Системы уравнений
Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений
Линейная независимость
Элементы векторной алгебры
Скаляры и векторы
Скользящие, приложенные и свободные векторные величины
Сложение векторов
Вычитание векторов
Умножение вектора на скаляр
Деление вектора на скаляр
Теория проекций
Инварианты системы свободных векторов
Координаты скользящего вектора
Момент скользящего вектора. Плюккеровы координаты
Аналитическое определение момента скользящего вектора
Проекция момента на ось
Момент скользящего вектора относительно оси
Аналитическая геометрия
Система координат плоскости
Системы координат в пространстве
Прямая на плоскости
Общее управление прямой
Векторно-параметрическое уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой по двум точкам
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Прямая в пространстве
Векторно-параметрическое уравнение
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой по двум точкам
Плоскость и способы ее задания
Кривые второго порядка
Поверхности второй степени
Дифференциальное исчисление
Производная функции
Вычисление производных
Дифференцирование выражений
Производная сложной функции
Производная обратной функции
Производные основных элементарных функций
Производная степенно-показательной функции
Производные высших порядков некоторых функций
Формула Лейбница
Дифференциалы высших порядков
Производные функции, заданной параметрически
Формула конечных приращений
Правило Лопиталя
Локальный экстремум
Формула Тейлора
Функции двух переменных
Интегральное исчисление
Неопределенный интеграл
Первообразная. Понятие неопределенного интеграла и его свойства
Замена переменных в неопределенном интеграле
Формула интегрирования по частям
Таблица простейших интегралов
Интегрирование рациональных функций
Метод рационализации
Интегрирование некоторых трансцендентных функций
Интегралы от рациональных функций
Интегралы от иррациональных функций
Интегралы, содержащие экспоненту
Интегралы, содержащие логарифмы
Интегралы, содержащие тригонометрические функции
Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции (а>0)
Интегралы, содержащие гиперболические функции
Некоторые рекуррентные формулы
Некоторые неберущиеся интегралы
Определенный интеграл
Определение
Свойства определенных интегралов
Теорема Барроу
Замена переменных
Интегрирование по частям
Приближенное вычисление интегралов
Некоторые приложения определенного интеграла
Двойной интеграл
Определение
Свойства двойных интегралов
Вычисление двойных интегралов
Некоторые приложения двойного интеграла
Геометрический смысл двойного интеграла
Тройной интеграл
Определение
Сведение к повторному
Замена переменных
Криволинейный интеграл
Криволинейный интеграл 1-го рода
Криволинейный интеграл 2-го рода
Связь криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода
Некоторые приложения криволинейных интегралов
Поверхностный интеграл
Поверхностный интеграл 1-го рода
Поверхностный интеграл 2-го рода
Связь поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода
Сведение поверхностного интеграла 2-го рода к двойному интегралу
Формула Стокса
Формула Остроградского
Дифференциальные уравнения
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
Линейное неоднородное уравнение первого порядка
Линейное однородное уравнение первого порядка
Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейное неоднородное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами
Линейное однородное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами
Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
Линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Нелинейные дифференциальные уравнения
Уравнение с разделенными переменными
Уравнение с разделяющимися переменными
Уравнение в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
Однородное уравнение
Уравнение ряда
Уравнение Бернулли
Уравнение Риккати
Уравнение Лагранжа