Кутузов Б.В. Геометрия

Пособие для учительских и педагогических институтов. — М.: Учпедгиз, 1950. — 284 с.Настоящий курс написан в соответствии с программой, утвержденной Министерством просвещения РСФСР для учительских институтов в 1950 г. С содержанием курса знакомят оглавление и краткие введения к каждой главе. Учебник построен почти целиком на школьном материале и должен служить профессиональным целям математического образования будущих учителей и в первую очередь развитию их математической культуры и привитию надлежащих навыков. Во введении изучаются основные теоретико-множественные понятия, применение общего понятия функции (по Лобачевскому) в геометрии, понятие группы преобразований и даются первоначальные сведения из общей теории групп. В настоящее время нельзя успешно вести преподавание, не овладев также элементами геометрии Лобачевского. В курсе содержится значительное число указаний по ведению упражнений. Учтена необходимость самостоятельной работы студентов, и в каждой главе даются темы работ и приводится соответствующая литература, что, несмотря на новизну программы, позволит быстро ориентироваться как преподающему, так и учащемуся. Настоящий курс вместе со школьными учебниками почти полностью обеспечивает изучение всех разделов программы. Недостаток места заставил автора воздержаться от помещения двух глав, посвященных измерениям на местности и приложениям тригонометрии к геометрии. Этот пробел легко может быть восполнен наличием существующих руководств. Пособие утверждено Министерством просвещения РСФСР.Предисловие.
Введение.
Геометрическая фигура как точечное множество.
Основные понятия и определения в геометрии.
Аксиомы и теоремы.
О понятии геометрической фигуры как точечного множества.
Пересечение фигур. Примеры. Конические сечения.
Соединение фигур.
Склеивание или отождествление.
Геометрические построения.
Геометрические места.
Метод геометрических мест при решении задач на построение.
О геометрической задаче на построение и ее решении.
Построения с помощью циркуля и линейки.
О средствах решения задач на построение, отличных от свободного пользования циркулем и линейкой.
Примеры задач, не разрешимых с помощью циркуля и линейки.
Преобразования фигур.
Отображение одной фигуры в другую.
Взаимно однозначное отображение фигур.
Непрерывные отображения фигур.
Понятие о преобразовании плоскости в себя и пространства в себя.
Стереографическая проекция.
Понятие о центральной проекции.
Понятие группы преобразований.
Общее понятие группы.
Элементарные геометрические преобразования.
Параллельное перенесение (перенос).
Параллельные линии.
Переносы (параллельные перенесения) на плоскости.
Группа переносов плоскости, параллельных одной прямой.
Группа всех переносов плоскости.
Инварианты и инвариантные свойства фигур.
Метод параллельного перенесения при решении задач на построение.
Группа переносов пространства.
Вращение.
Преобразование плоскости в себя вращением вокруг точки.
Группа движений плоскости.
Метод вращения при решении задач на построение.
Вращение пространства вокруг оси.
Поверхности вращения.
Вращение пространства вокруг точки.
Группа движений пространства.
Группы вращений правильной пирамиды.
Определение и свойства ортогональных преобразований.
Симметрия.
Симметрия на плоскости относительно оси.
Симметрия на плоскости относительно точки.
Метод симметрии при решении задач на построение.
Симметрия пространства относительно плоскости.
имметрия пространства относительно точки.
Симметрия фигур на плоскости.
Симметрия фигур в пространстве.
Подобие.
Центрально-подобное преобразование плоскости.
Подобие окружностей.
Группа подобных преобразований с общим центром.
Общий случай подобия фигур на плоскости.
Метод подобия при решении задач на построение.
Инверсия.
Инверсия на плоскости.
Инверсия в пространстве.
Применение инверсии к геометрическим построениям.
Задача Аполлония.
Измерение длин, площадей и объемов.
Общая задача измерения длин, площадей и объемов.
Сравнение прямолинейных отрезков.
Общая задача измерения отрезков.
Зависимость длины отрезка от выбора единицы меры.
Сравнение площадей на плоскости.
Преобразование многоугольников.
Задача измерения площадей простых многоугольников.
О понятии площади плоской фигуры.
Понятие о задаче измерения объемов.
Элементы оснований геометрии и геометрия Лобачевского.
Евклидовы «Начала».
Обзор евклидовых «Начал».
Историческое значение, достоинства и недостатки «Начал».
Геометрия Лобачевского.
Предложения о сумме углов треугольника.
Различные формы аксиомы параллельности в евклидовой геометрии.
Аксиома Лобачевского.
Простейшие факты геометрии Лобачевского.
Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
Понятие об измерении площадей.
Аксиоматическое построение геометрии.
Основные объекты геометрии, основные отношения между объектами.
Первая группа аксиом: аксиомы соединения (принадлежности).
Вторая группа аксиом: аксиомы порядка.
Третья группа аксиом: аксиомы конгруэнтности.
Четвертая группа аксиом: аксиома о параллельных.
Пятая группа аксиом: аксиомы непрерывности.
Понятие о равносильности аксиом.
Аксиомы движения.
Идея интерпретации геометрической системы.
Различные интерпретации евклидовой геометрии на плоскости.
Интерпретация пространственной геометрии Евклида по Федорову.
Интерпретации геометрии Лобачевского в евклидовой плоскости.
Заключение.
Требования, предъявляемые к системе аксиом.
Литература.