Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ

Москва: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1958. — 352 с.Функциональный анализ — сравнительно молодая математическая дисциплина, возникшая в начале XX столетия. Однако, несмотря на свой небольшой возраст, функциональный анализ, развиваясь исключительно быстрыми темпами, превратился к настоящему времени в весьма обширную область математики, имеющую многочисленные приложения в целом ряде других ее разделов.
Данная книга, в отличие от других существующих книг по функциональному анализу, не требует от читателя предварительного знакомства с такими более специальными разделами математики, как теория функций вещественной переменной, линейная алгебра. Необходимые сведения из этих разделов излагаются по мере надобности. Таким образом, книга должна быть вполне доступна для инженера, не имеющего университетского образования и пожелавшего расширить свой математический кругозор. В то же время книга может быть использована и студентами старших курсов педагогических институтов, где элементы функционального анализа могут составить содержание спецкурсов и спецсеминаров.Предисловие.
Конечно-мерное эвклидово пространство.
Понятие пространства в математике.
n-мерное векторное пространство.
Норма вектора.
Скалярное произведение векторов.
Линейные преобразования.
Матрицы.
Норма оператора линейного преобразования.
Непрерывность линейного преобразования.
Линейные функционалы.
Сопряженные и самосопряженные операторы.
Подпространства в Rn.
Ортогональный базис.
Собственные числа и собственные векторы.
Комплексное n-мерное эвклидово пространство.
Бесконечно-мерное эвклидово пространство.
Векторы с бесконечным множеством координат.
Пространство l3.
Скалярное произведение векторов из l2.
Сходимость последовательности векторов.
Непрерывность нормы и скалярного произведения.
Линейные функционалы.
Линейные операторы.
Подпространства в l2.
Ортогональный базис.
Комплексное бесконечно-мерное эвклидово пространство.
Метрические пространства.
Некоторые понятия теории множеств.
Определение метрического пространства.
Сходимость в метрическом пространстве.
Замкнутые и открытые множества.
Полные метрические пространства.
Счетные множества.
Сепарабельные пространства.
Компактные множества.
Критерий компактности в пространстве C.
Непрерывные операторы в метрических пространствах.
Основные определения.
Непрерывные операторы и функционалы.
Неподвижные точки. Метод последовательных приближений.
Операторы сжатия.
Интегральные уравнения.
Теорема Пеано.
Нормированные пространства.
Линейные системы.
Нормированные пространства.
Конечно-мерные пространства.
Подпространства.
Задача о наилучшем приближении.
Пространства со счетным базисом.
Гильбертово пространство.
Скалярное произведение.
Определение гильбертова пространства.
Понятие ортогональности.
Проекция элемента на подпространство.
Ортогональные разложения гильбертова пространства.
Ортогональные системы элементов.
Ортогонализация системы линейно независимых элементов.
Задача о наилучшем приближении в гильбертовом пространстве
Изоморфизм произвольного сепарабельного гильбертова пространства с пространством l2.
Комплексное гильбертово пространство.
Пространство L2.
Среднее значение функции.
Определение пространства L2.
Плотность множества непрерывных функций в пространстве L2.
Умножение функций из L2.
Скалярное произведение в Z2.
Суммируемые функции точки.
Ортогональные ряды.
Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма.
Линейные операторы.
Аддитивные операторы.
Линейные операторы.
Ограниченность линейных операторов.
Распространение линейных операторов.
Последовательности линейных операторов.
Пространство линейных операторов.
Обратные операторы.
Матричные линейные операторы.
Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений.
Линейные дифференциальные операторы в пространстве дифференцируемых функций.
Линейные функционалы.
Линейный функционал как частный случай линейного оператора.
Общие формы линейных функционалов в некоторых пространствах.
Распространение линейных функционалов.
Линейные функционалы в пространстве непрерывных функций.
Сопряженное пространство.
Слабая сходимость функционалов.
Сходимость процесса механических квадратур.
Линейные функционалы в пространстве сходящихся последовательностей.
Обобщенные методы суммирования рядов.
Линейные функционалы в комплексном нормированном пространстве.
Сопряженные и самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.
Сопряженные операторы.
Самосопряженные операторы.
Инвариантные подпространства.
Собственные числа и собственные элементы самосопряженного оператора.
Спектр самосопряженного оператора.
Интегральные самосопряженные операторы.
Неограниченные симметричные операторы.
Дифференциальные симметричные операторы.
Самосопряженные операторы в комплексном гильбертовом пространстве.
Вполне непрерывные операторы.
Определение и общие свойства.
Вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве.
Спектр вполне непрерывного самосопряженного оператора.
Разложение значений оператора по собственным элементам.
Решение уравнения (А-λI)х=у.
Интегральные уравнения с симметричным ядром.
Применение интегральных операторов к краевым задачам для уравнения Штурма — Лиувилля.
Приближенное решение функциональных уравнений.
Замена точного уравнения „приближенным".
Замена произвольного интегрального уравнения на уравнение с вырожденным ядром.
Решение бесконечных систем линейных алгебраических уравнений по методу редукции.
Метод Ритца.
Применение метода Ритца к решению дифференциальных уравнений Штурма — Лиувилля.
Применение метода Ритца к нахождению собственных значений.
Понятие о методе Бубнова—Галеркина.
Полуупорядоченные нормированные пространства.
Линейные структуры.
Положительная и отрицательная части элементов линейной структуры.
Полуупорядоченные банаховы пространства.
Линейные функционалы в полуупорядоченных банаховых пространствах.
Другой вывод общей формы линейного функционала в пространстве непрерывных функций.
Монотонные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.
Частичное упорядочение пространства L2.
Сильно положительные линейные операторы.
Литература.
Указатель терминов.