Гантмахер Ф.Р. Теория матриц

4-е изд., доп. — М.: Наука, 1988. — 552 с.: ил. — ISBN: 978-5-02-013722-7.Книга посвящена матричному исчислению. В ней наряду с собственно теорией матриц содержится изложение ряда математических проблем, решение которых достигается применением развитой матричной техники. Большое внимание уделяется вопросам интегрирования и проблеме устойчивости систем дифференциальных уравнений.
Для студентов старших курсов и аспирантов (математиков, механиков, физиков и др.), а также для математиков, программистов, механиков, физиков и инженеров, использующих матричный математический аппарат.Предисловие автора к первому изданию.
Предисловие редактора ко второму изданию.
Предисловие редактора к четвертому изданию.
Основы теории.
Матрицы и действия над ними.
Матрицы. Основные обозначения.
Сложение и умножение прямоугольных матриц.
Квадратные матрицы.
Ассоциированные матрицы. Миноры обратной матрицы.
Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица.
Алгоритм Гаусса и некоторые его применения.
Метод исключения Гаусса.
Механическая интерпретация алгоритма Гаусса.
Детерминантное тождество Сильвестра.
Разложение квадратной матрицы на треугольные множители.
Разбиение матрицы на блоки. Техника оперирования с блочными матрицами. Обобщенный алгоритм Гаусса.
Линейные операторы в n-мерном векторном пространстве.
Векторное пространство.
Линейный оператор, отображающий n-мерное пространство в m-мерное.
Сложение и умножение линейных операторов.
Преобразование координат.
Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра.
Линейные операторы, отображающие п-мерное пространство само в себя.
Характеристические числа и собственные векторы линейного оператора.
Линейные операторы простой структуры.
Характеристический и минимальный многочлены матрицы.
Сложение и умножение матричных многочленов.
Правое и левое деление матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу.
Характеристический многочлен матрицы. Присоединенная матрица.
Метод Д. К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы.
Минимальный многочлен матрицы.
Функции матрицы.
Определение функции матрицы.
Интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра.
Другие формы определения f {А). Компоненты матрицы А.
Представление функций матриц рядами.
Некоторые свойства функций матриц.
Применение функций матрицы к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Устойчивость движения в случае линейной системы.
Эквивалентные преобразования многочленных матриц. Аналитическая теория элементарных делителей.
Элементарные преобразования многочленной матрицы.
Канонический вид λ-матрицы.
Инвариантные многочлены и элементарные делители многочленной матрицы.
Эквивалентность линейных двучленов.
Критерий подобия матриц.
Нормальные формы матрицы.
Элементарные делители матрицы f (A).
Общий метод построения преобразующей матрицы.
Второй метод построения преобразующей матрицы.
7Структура линейного оператора в n-мерном пространстве (геометрическая теория элементарных делителей).
Минимальный многочлен вектора, пространства (относительно заданного линейного оператора).
Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными многочленами.
Сравнения. Надпространство.
Расщепление пространства на циклические инвариантные подпространства.
Нормальная форма м атрицы.
Инвариантные многочлены. Элементарные делители.
Нормальная жорданова форма матрицы.
Метод А. Н. Крылова преобразования векового уравнения.
Матричные уравнения.
Уравнение АХ = ХВ.
Частный случай: А = В. Перестановочные матрицы.
Уравнение АХ — Х В — С.
Скалярное уравнение f (X) = 0.
Матричное многочленное уравнение.
Извлечение корня n-й степени из невырожденной матрицы.
Извлечение корня n-й степени из вырожденной матрицы.
Логарифм матрицы.
Линейные операторы в унитарном пространстве.
Общие соображения.
Метризация пространства.
Критерий Грама линейной зависимости векторов.
Ортогональное проектирование.
Геометрический смысл определителя Грама и некоторые неравенства.
Ортогонализация ряда векторов.
Ортонормированный базис.
Сопряженный оператор.
Нормальные операторы в унитарном пространстве.
Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов.
Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы операторы.
Полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве.
Формулы Кэли.
Линейные операторы в евклидовом пространстве.
Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом пространстве.
Коммутирующие нормальные операторы.
Псевдообратный оператор.
Квадратичные и эрмитовы формы.
Преобразование переменных в квадратичной форме.
Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Закон инерции.
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов.
Формула Якоби.
Положительные квадратичные формы.
Приведение квадратичной формы к главным осям.
Пучок квадратичных форм.
Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка форм.
Малые колебания системы с n степенями свободы.
Эрмитовы формы.
Ганкелевы формы.
Специальные вопросы и приложения.
Комплексные симметрические, кососимметрические и ортогональные матрицы.
Некоторые формулы для комплексных ортогональных и унитарных матриц.
Полярное разложение комплексной матрицы.
Нормальная форма комплексной симметрической матрицы.
Нормальная форма комплексной кососимметричеокой матрицы.
Нормальная форма комплексной ортогональной матрицы.
Сингулярные пучки матриц.
Введение.
Регулярный пучок матриц.
Сингулярные пучки. Теорема о приведении.
Каноническая форма сингулярного пучка матриц.
Минимальные индексы пучка. Критерий строгой эквивалентности пучков.
Сингулярные пучки квадратичных форм.
Приложения к дифференциальным уравнениям.
Матрицы с неотрицательными элементами.
Общие свойства.
Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц.
Разложимые матрицы.
Нормальная форма разложимой матрицы.
Примитивные и импримитивные матрицы.
Стохастические матрицы.
Предельные вероятности для одноротной цепи Маркова с конечным числом состояний.
Вполне неотрицательные матрицы.
Осцилляционные матрицы.
Различные критерии регулярности и локализация собственных значений.
Критерий регулярности Адамара и его обобщения.
Норма матрицы.
Распространение критерия Адамара на блочные матрицы.
Критерий регулярности Фидлера.
Круги Гершгорина и другие области локализации.
Приложения теории матриц к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений.
Системы линейных дифференциальных уравнений с переменны ми коэффициентами. Общие понятия.
Преобразование Ляпунова.
Приводимые системы.
Каноническая форма приводимой системы. Теорема Еругина.
Матрицант.
Мультипликативный интеграл. Инфинитезимальное исчисление Вотьтерра.
Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства.
Мультипликативный интеграл в комплексной области.
Изолированная особая точка.
Регулярная особая точка.
Приводимые аналитические системы.
Аналитические функции многих матриц и их применение к исследованию дифференциальных систем. Работы И. А. Лаппо-Данилевского
Проблема Рауса — Гурвица и смежные вопросы.
Введение.
Индексы Коши.
Алгоритм Р ауса.
Особые случаи. Примеры.
Теорема Ляпунова.
Теорема Рауса — Гурвица.
Формула Орландо.
Особые случаи в теореме Рауса — Гурвица.
Метод квадратичных форм. Определение числа различных вещественных корней многочлена.
Бесконечные Ганкелевы матрицы конечного ранга.
Определение индекса произвольной рациональной дроби через коэффициенты числителя и знаменателя.
Второе доказательство теоремы Рауса — Гурвица.
Некоторые дополнения к теореме Рауса — Гурвица. Критерий устойчивости Льенара и Шипара.
Некоторые свойства многочлена Гурвица. Теорема Стилтьеса. Представление многочленов Гурвица при помощи непрерывных дробей.
Область устойчивости. Параметры Маркова.
Связь с проблемой моментов.
Связь между определителями Гурвица и определителями Маркова.
Теоремы Маркова и Чебышева.
Обобщенная задача Рауса — Гурвица.
Добавление. Неравенства для собcтвенных и сингулярных чисел (В. Б. Лидский).
Примечания.
Список литературы.
Предметный указатель.