Стронгина Н.Р. Курс Численные методы. Уравнение теплопроводности как модельная задача дисциплины (Модули 4-7, стационарный случай)

Учебно-методическое пособие. — Нижний Новгород: Нижегородский государственный университет (ННГУ) имени Н.И. Лобачевского, 2021. — 78 с.Пособие является компонентом учебно-методического комплекса по дисциплине «Численные методы». Уравнение теплопроводности рассматривается как модельная задача дисциплины. На примере краевых задач для указанного уравнения рассмотрены: метод дискретизации, обеспечивающий выполнение разностных аналогов закона сохранения тепла; понятия погрешности, аппроксимации, устойчивости и сходимости; подход к обоснованию сходимости; влияние аппроксимации граничных условий на скорость сходимости; тесты для оценки вычислительной погрешности; примеры отсутствия сходимости и др. Освоение материала подтверждается выполнением контрольных заданий и лабораторной работы Пособие предназначено для студентов университета, обучающихся по направлению 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», а также для преподавателей. Может быть рекомендовано студентам магистратуры, изучающим параллельные численные методы на основе технологий параллельного программирования.Введение.
Модуль 4. Стационарное уравнение теплопроводности. Построение консервативных разностных схем на примере модельных задач (применение метода баланса).
«Разрывная модельная задача».
Построение однородной консервативной разностной схемы методом баланса (интегрально-интерполяционный метод).
Проверка корректности схемы.
Теоремы о сходимости схемы.
Варианты расчета коэффициентов консервативных разностных схем.
Модуль 5. Основы теории разностных схем на примере стационарного уравнения теплопроводности.
Модельная задача для доказательства сходимости.
Погрешность схемы и сходимость.
Погрешность разностного оператора.
Погрешность аппроксимации (для схемы).
Связь погрешности схемы и погрешности аппроксимации.
Оценка погрешности аппроксимации.
Аппроксимация, устойчивость, сходимость.
Доказательство устойчивости схемы для модельной задачи.
Завершение доказательства сходимости.
Анализ общей погрешности.
Модуль 7. Модельные задачи и анализ свойств методов на примере стационарного уравнения теплопроводности.
Модельная задача для оценки вычислительной погрешности.
Способы задания граничных условий.
Пример аппроксимации граничных условий.
Аппроксимация граничных условий методом баланса.
Пример отсутствия сходимости.
Пример сходящейся неоднородной схемы.
Проверка на консервативность. Дисбаланс.
Литература.
Приложение.
Материалы для описания подхода параллельной реализации метода прогонки.