Емельянов Д.П. Построение решений краевых задач для нерегулярно вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами

Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук.
1.1.2 - Дифференциальные уравнения и математическая физика. – Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова. Факультет вычислительной математики и кибернетики. – Москва. 2024. – 150 с.
Научный руководитель: д. ф.-м. н., профессор Ломов И.С.Цель исследования. В работе автора исследуются краевые задачи D и E для дифференциального уравнения uxx + ymuyy + c(y)uy −a(y)u = f(x, y) в прямоугольнике. Ставится задача построить решения в явном виде и выделить неаналитическую зависимость от аргумента y решений в окрестности прямой y =0 при 1 < m < 2Введение
Краевая задача E для эллиптического уравнения с квадратичным вырождением
Общие постановки задач и некоторые свойства решений
Постановка задачи E для квадратичного вырождения
Регуляризация задачи. Формальное решение
Разрешимость задач для функций ηk(y), χk(y) и ϕk(y)
Свойства и асимптотика функций ϕk(y)
Проблема малых знаменателей в коэффициентах ηk(y).
Теорема сходимости формального решения расширенной задачи
Оценки неограниченного элемента фундаментальной системы решений
Оценки функции Грина и асимптотика коэффициентов ряда
Теорема существования решения основной задачи
Пример
Краевые задачи D и E для эллиптического уравнения с линейным вырождением
Постановки задач D и E для линейного вырождения
Формальные решения задач
Разрешимость задач для коэффициентов Фурье решения
Специальное уравнение с малым параметром и асимптотика его решения
Фундаментальная система решений в случае задачи E
Фундаментальная система решений в случае задачи D
Оценки определителя Вронского и функции Грина
Асимптотика коэффициентов ряда Фурье решения
Теоремы существования решений
Краевая задача D для эллиптического уравнения с регулярным нецелым вырождением
Постановка задачи и её формальное решение
Разрешимость задач для коэффициентов Фурье решения
Оценки фундаментальной системы решений
Оценки определителя Вронского и функции Грина
Асимптотика коэффициентов ряда Фурье решения
Теоремы существования решения
Пример
Заключение
Список литературы