Редькина Т.В. Основы функционального анализа

Ставрополь: Издательство Северо-Кавказского федерального университета, 2018. — 106 с.Пособие подготовлено в соответствии с программой курса «Функциональный анализ» для студентов направления подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» обучающихся по очной форме.
В книге нашли отражение не только основные понятия и результаты (теоремы Хана-Банаха, Штенгауза и т. д.), но и приложения функционального анализа.
В первых двух главах изучаются основные функциональные пространства (метрические, нормированные и, в частности, гильбертово пространство).
Глава III посвящена мере и интегралу Лебега: функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса, абсолютно непрерывные, функции и неопределенный интеграл Лебега. В IV главе рассмотрены линейные операторы и функционалы.
В главе V более глубоко изучаются оператор Фредгольма и его применение. Разумеется, многие вопросы функционального анализа не вошли в данное учебное пособие.
В конце книги указана использованная автором литература, и приведены книги, по которым можно познакомиться с другими вопросами функционального анализа, не вошедшими в данное учебное пособие.
Включает лекционный материал, упражнения для практических занятий, темы рефератов.Введение
Предварительные сведения
Важные неравенстваМетрические пространства
Определение и простейшие свойства
Последовательности и их пределы
Примеры метрических пространств
Замыкания множеств. Замкнутые и открытые множества
Непрерывные отображения
Полные метрические пространства
Компактные метрические пространства
Связность, отделимость (хаусдорфовость) топологического пространстваЛинейные нормированные пространства
Основные понятия и примеры
Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства
Компактность в линейных нормированных пространствах
Гильбертовы пространстваМера и интеграл Лебега
Общее понятие меры
Измеримые функции. Понятие сходимости почти всюду
Абстрактный интеграл Лебега
Мера и интеграл Лебега в Евклидовом пространстве
Интеграл СтилтьесаЛинейные операторы
Пространство линейных операторов
Сопряженные пространства и слабая сходимость
Три фундаментальные теоремы функционального анализа
Вполне непрерывные операторы в бесконечномерном евклидовом пространствеИнтегральный оператор Фредгольма
Принцип сжимающих отображений в классе суммируемых (интегрируемых) функций. Существование и единственность решений интегральных уравнений
Существование собственных векторов вполне непрерывного симметричного оператора
Однородные уравнения Фредгольма второго рода
Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Случай симметричного ядра