Халилов В.Р. Теоретическая механика. Части 1, 2

Конспект лекций. — Москва: Физический факультет МГУ, 2024. — 89 с.Движение механических систем при наложенных связях. Голономные связи. Принцип виртуальных перемещений. Принцип Даламбера.
Уравнения Лагранжа с неопределёнными множителями (1-го рода). Законы сохранения для механических систем при наличии связей.
Уравнения Лагранжа (2-го рода) в независимых координатах (вывод из общего уравнения механики).
Механическая система с одной степенью свободы. Интегралы движения. Качественное исследование. Движение вблизи точек остановки. Формула для периода колебаний.
Одномерный гармонический осциллятор. Собственные и вынужденные колебания одномерного гармонического осциллятора. Функция Лагранжа. Фазовая.
плоскость. Затухающие одномерные колебания. Условный период. Апериодический режим движения.
Общие свойства движения частицы в центральном поле. Интегралы движения. Общее решение задачи в квадратурах. Качественное исследование. Точки поворота. Классификация траектории. Формулы для периода радиального движения частицы и смещения перигея траектории частицы в центральном поле. Условие замкнутости траекторий. Задача Кеплера. Вектор–интеграл Лапласа.
Система материальных точек. Внутренние силы. Инвариантность функции Лагранжа относительно группы движений Галилея для изолированной системы 𝑁.
материальных точек. Законы сохранения и изменения импульса, момента.
импульса и энергии системы точек. Аддитивные интегралы движения изолированной системы 𝑁 материальных точек и свойства пространства–времени.
Инерциальные системы отсчёта. Группа движений Галилея.
Задача двух тел, интегралы движения и общее решение задачи в квадратурах.
Движение частиц относительно лабораторной системы отсчёта и системы центра масс. Упругое рассеяние частиц. Эффективное поперечное сечение.
рассеяния. Формула Резерфорда. Падение частиц в центр поля и захват частиц. Полное сечение захвата частиц.
Уравнения Лагранжа в независимых координатах и их ковариантность при точечных преобразованиях.
Обобщённая энергия. Обобщённый импульс 𝑝𝑖, соответствующий обобщённой координате 𝑞𝑖.
Интегралы движения уравнений Лагранжа.
Функция Лагранжа заряда во внешнем электромагнитном поле. Обобщённый потенциал, обобщённая сила в уравнениях Лагранжа заряженной частицы во.
внешнем электромагнитном поле. Первые интегралы уравнений Лагранжа.
заряда 𝑒 массы 𝑚 в однородном магнитном поле и калибровка векторного потенциала. Первые интегралы уравнений Лагранжа заряда 𝑒 массы 𝑚 в однородном магнитном поле 𝐻⃗ в цилиндрических координатах.
Малые линейные колебания динамических систем с 𝑆 степенями свободы. Общее решение уравнений Лагранжа механической системы с 𝑆 степенями свободы вблизи положений устойчивого равновесия. Собственные колебания механической системы с 𝑆 степенями свободы.
Ортогональность амплитуд. Векторы смещений. Свойства ортогональности.
Нормальные координаты.
Устойчивость движения по Ляпунову. Теорема Лагранжа. Случаи нулевой и кратных частот.
Интегральные принципы механики. Действие. Экстремали действия и уравнения.
Лагранжа. Принцип наименьшего действия в пространстве конфигураций.
Гамильтонов формализм. Канонические преобразования. Принцип наименьшего действия в расширенном фазовом пространстве. Вывод уравнений Гамильтона Метод Гамильтона–Якоби.
Укороченное действие.
Адиабатические инварианты и переменные действия.
Кинематика твёрдого тела.
Тензор инерции твёрдого тела и его свойства.
Углы Эйлера. Кинематические формулы Эйлера.
Динамические уравнения Эйлера.
Тяжёлый симметричный волчок.
Кинематика сплошной среды.
Уравнения движения сплошной среды.
Распространение малых возмущений в сжимаемой сплошной среде.
Тензор вязких напряжений.
Динамически подобные течения. Число Рейнольдса.
Дополнение. Метод Гамильтона–Якоби.
Уравнение Гамильтона–Якоби.
Теорема Якоби.
Консервативная система.
Метод разделения переменных.
Переменные «действие–угол».
Адиабатические инварианты.
Задача двух тел.