Катанаев М.О. Геометрические методы в математической физике

ArXiv preprint. — Cornell University, 2024. — 2292 с. — arXiv:1311.0733v5.В рукописи дается подробное описание современной дифференциальной геометрии с точки зрения, не зависящей от глобальных координат, а также описание локальных координат, подходящее для реальных вычислений. Во введении мы рассматриваем евклидовы пространства и различные структуры на их основе; группы вращения, группы Лоренца и Пуанкаре; специальную теорию относительности.
Основная часть рукописи включает многообразия, тензорные поля, дифференциальные формы, интегрирование, риманову и лоренцеву метрики, связность на векторных и каркасных расслоениях, аффинную геометрию, группы Ли, группы преобразований, гомотопическую и фундаментальную группы, покрытия, основные и ассоциированные расслоения, связи на расслоениях, векторные поля Киллинга, геодезические и экстремали, симплектические и пуассоновские многообразия, алгебры Клиффорда, принцип наименьшего действия, канонический формализм для ограниченных систем.
Описаны приложения дифференциальной геометрии в квантовой теории (теорема адиабаты, фаза Берри, эффект Ааронова-Бома), общей теории относительности и геометрической теории дефектов. Также дается введение в общую теорию относительности и ее гамильтонову формулировку; описываем скалярное, спинорное, электромагнитное поля и поля Янга-Миллса. Подробно обсуждаются римановы и лоренцевы поверхности с одним векторным полем Киллинга, а их глобальная структура описывается с использованием метода конформных блоков. В работе также классифицированы все глобальные вакуумные решения уравнений Эйнштейна, которые имеют форму искривленного произведения метрик двух поверхностей.
Рукопись не является учебником и предназначена для внимательного читателя.