Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление

Учебное пособие. — М.: Наука, 1969. — 352 с.: ил. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов ВТУЗов).Излагаются основы тензорного исчисления и некоторые его приложения к геометрии, механике и физике. В качестве приложений строится общая теория поверхностей второго порядка, изучаются тензоры инерции, напряжений, деформаций и рассматриваются некоторые вопросы кристаллофизики. Последняя глава знакомит с элементами тензорного анализа.Линейное пространство.
Понятие линейного пространства.
Линейная зависимость векторов.
Размерность и базис линейного пространства.
Прямоугольный базис в трехмерном пространстве.
Скалярное произведение векторов.
Векторное и смешанное произведения векторов.
Преобразования ортонормированного базиса. Основная задача тензорного исчисления.
Некоторые вопросы аналитической геометрии в пространстве.
Полилинейные формы и тензоры
Линейные формы
Билинейные формы
Полилинейные формы. Общее определение тензора.
Алгебраические операции над тензорами
Симметричные и антисимметричные тензоры
Линейные преобразования векторного пространства и тензоры второй валентности
Линейные преобразования
Матрица линейного преобразования
Определитель матрицы линейного преобразования. Ранг матрицы.
Линейные преобразования и билинейные формы.
Умножение линейных преобразований и умножение матриц
Обратное линейное преобразование и обратная матрица
Группа линейных преобразований и ее подгруппы.
Приведение к простейшему виду матрицы линейного преобразования
Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
Приведение к простейшему виду матрицы линейного преобразования в случае различных собственных значений.
Многочлены от матриц и теорема Гамильтона - Кэли
Свойства собственных векторов и собственных значений симметричного линейного преобразования
Приведение к диагональному виду матрицы симметричного линейного преобразования
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Представление невырожденного линейного преобразования в виде произведения симметричного и ортогонального преобразований
Общая теория поверхностей второго порядка.
Общее уравнение поверхности второго порядка. Его инварианты
Приведение к простейшему виду общего уравнения поверхности второго порядка
Определение типа поверхности второго порядка при помощи инвариантов
Классификация поверхностей второго порядка
Приложение теории инвариантов к классификации поверхностей второго порядка
Центральные и нецентральные поверхности второго порядка
Приложение тензорного исчисления к некоторым вопросам механики и физики
Тензор инерции
Некоторые свойства кристаллов, связанные с тензорами второй валентности.
Тензоры напряжений и деформации
Дальнейшие свойства кристаллов
Основы тензорного анализа
Тензорное поле и его дифференцирование
Механика деформируемой среды
Ортогональные криволинейные системы координат.
Подвижной репер ортогональной криволинейной системы координат и тензорные поля
Дифференцирование тензорного поля в криволинейных координатах
Ответы и указания к решению задач и упражнений