Дубровин Б.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения

Успехи математических наук, том 36, вып. 2(218), март-апрель 1981. - 81 с.
Статья посвящена важнейшим результатам теории тэта-функций, их связи с римановыми поверхностями и абелевыми многообразиями. Материал статьи в основном восходит к классическим работам Абеля, Якоби, Римана. Изложен метод Кричевера И. М. построения точных решений нелинейных уравнений. Этот метод позволяет выразить построенные решения через тэта-функции. Основной инструмент для построения таких решений — так называемые функции Бейкера — Ахиезера, т. е. мероморфные функции на римановой поверхности с существенной особенностью заданного вида. Приведены эффективизация полученных формул решений уравнений КдФ и КИ, восстановление римановой поверхности по ее многообразию Якоби, проблема Римана и гипотеза Новикова С. П. Даны примеры гамильтоновых систем, интегрируемых в двумерных тэта-функциях.