Кириллов А.А. Геометрическое квантование

Обзор ВИНИТИ, 1985 г.
В статье рассмотрены математические модели классической и квантовой механики, использующие квантование наблюдаемых величин и пространства состояний. Источниками геометрического квантования являются, с одной стороны, попытки физиков распространить известные процедуры квантования простых механических систем на более общие конфигурации и фазовые пространства, а с другой стороны, — развитие математиками теории унитарных представлений, приведшее к методу орбит. Слияние этих двух источников произошло в конце 60-х годов и оказалось полезным и для физиков, и для математиков. Физики включили в свой арсенал новый математический аппарат (расслоения, связности, когомологии), математики обогатились новыми эвристическими соображениями и постановками задач.
Слово «квантование» употребляется и в физических, и в математических работах во многих разных смыслах. В последнее время это стало явно отражаться на терминологии: появились термины «асимптотическое», «деформационное», «геометрическое» и т.д. квантование. Общую основу всех этих теорий составляет предположение о том, что классическая и квантовая механики - это разные реализации одной и той же абстрактной схемы. Основными компонентами этой схемы являются алгебра наблюдаемых (физических величин) и пространство состояний. Хотя возможности геометрического квантования еще далеко не исчерпаны, но уже сейчас можно дать описание основ этого метода и указать приблизительно рамки его применимости. В чем и поможет данная книгаВведение
Постановка задачи
Математическая модель классической механики в гамильтоновом формализме
Математическая модель квантовой механики
Постановка задачи квантования. Связь с методом орбит в теории представленийПредквантование
Представление Купмана - ван Хова - Сигала
Эрмитовы расслоения со связностью. Предквантование Сурьо - Костанта
Примеры. Предквантование двумерной сферы и двумерного тора
Предквантование симплектических супермногообразийПоляризации
Определение поляризации
Поляризации на однородных многообразияхКвантование
Пространство квантования
Квантование плоского пространства
Связь с индексом Маслова и представлением Вейля
Общая схема геометрического квантования
Операторы квантования
Литература