Конспект лекций для сдачи экзамена по математическому анализу

Без выходных данных.Введение.
Основные числовые множества.
Окрестности.
Модуль и основные неравенства.
Функция. Монотонность. Ограниченность.
Функции.
Ограниченные последовательности.
Монотонные последовательности.
Пределы последовательности.
Бесконечно малые последовательности.
Свойства бесконечно малых последовательностей.
Теорема: Сумма бесконечно малых есть бесконечно малое.
Теорема: Произведение бесконечно малой и ограниченной есть бесконечно малое.
Теорема о представлении последовательности, имеющей конечный предел.
Теоремы о пределах числовых последовательностей.
Теорема о пределе суммы.
Теорема о пределе произведения.
Теорема о пределе частного.
Бесконечно большие последовательности.
Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
Теорема о единстве предела сходящейся последовательности.
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.
Основные теоремы о существовании предела последовательности.
Бесконечно большие последовательности.
Определение подпоследовательности.
Предел функции.
Замечательные пределы.
Первый замечательный предел.
Определение бесконечного предела и пределов при х стремящемся к бесконечности.
Односторонние пределы.
Второй замечательный предел.
Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.
Шкала бесконечности.
Степенные бесконечности.
Показательные бесконечности.
Основные эквивалентности.
Асимптотические формулы.
Теорема об ограниченности непрерывной функции в окрестности точки.
Теорема о непрерывности сложной функции.
Непрерывность некоторых функций.
Точки разрыва.
Классификация точек разрыва функции.
Основные теоремы о непрерывных функциях.
Теорема о сохранении знака непрерывной функции.
Теорема Коши о нуле непрерывной функции.
Теоремы Вейерштрасса.
Теорема Коши о промежуточных значениях.
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции (без доказательства).
Производная функции.
Разность значений функций.
Физический смысл производной.
Геометрический смысл производной.
Основные теоремы о производной.
Теорема о производной частного.
Таблица производных.
Производные, дифференциал.
Дифференциал функции.
Гиперболические функции.
Линеаризация.
Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.
Линеаризация функции.
Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.
Погрешности вычисления.
Изучение поведения функции при помощи первой производной.
Экстремумы функции.
Теорема Ферма о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции.
Экстремумы.
Теорема Ролля. Геометрический смысл теоремы Ролля.
Теорема Лагранжа.
Теорема о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной.
Производная функции высшего порядка.
Теорема Коши – обобщение теоремы Лагранжа.
Правила Лопиталя.
Формулы Тейлора.
Свойства многочлена Тейлора.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Пять основных разложений.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Выпуклость и вогнутость.
Теорема о достаточном условии выпуклости функции.
Асимптоты.
Полное исследование функции.
Приближенные методы решения уравнений.
Оценка скорости сходимости.
Метод касательных (метод Ньютона).
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа в точке x_n.
Циклоида.
Параметрическая производная.